Oblicz granicę ciągu przy n dążącym do nieskończoności Flo: lim (dla n → ∞) [n((1/(n² + 1)) + (1/(n² + 2)) + (1/(n² + 3)) + ... + (1/(n² + n)))]

Flo: Wiem, że wynik ma być 1 i że trzeba zastosować twierdzenie o trzech ciągach, a potem pewnie na sumę ciągu arytmetycznego/ geometrycznego. Jednak w twierdzeniu o trzech ciągach nie wiem, do czego przyrównać ten mój ciąg z prawej i lewej strony... Próbowałam kilka razy i wychodzi mi 0 niestety. Uprzejmie proszę o pomoc.

top: z prawej strony (oszacowanie) Każdy składnik (1/(n2 + k)) ogranicz przez (1/(n2 + 1)) czyli dla każdego k=1,2,...,n (1/(n2 + k)) ≤(1/(n2 + 1)). Tych składników jest n więc masz ograniczone przez n*(1/(n2 + 1)) . Zostało ci jeszcze to n w ciagu....czyli przemnażajać twój ciąg jest ograniczony przez n*n*(1/(n2 + 1)) =n²/(n²+1)−−>1 z lewej zacznij od (1/(n2 + n)) ≤ (1/(n2 + k)) dla każdego k=1,...,n i analogicznie Pzdr

Flo: Super, brakowało mi tego w moim zapisie, że tych składników jest n i trzeba 1/(n2 + 1) pomnożyć przez to n. I dlatego wychodziło 0.Dziękuję za pomoc.

top:

Flo: A jeszcze mam taki kwiatek: (n → ∞) lim sin(n!)/n Z prawej strony ograniczam np. 2/n, a z lewej 1/(n+1). Czy jest to dobry tok rozumowania?

top: jezeli to jest sin(n!) PRZEZ n to np −1/n ≤ (sin(n!) )/ 1/n . Tak bezpieczeniej (bo wiemy, ze sinus ma wrtosci od −1 do 1). Można też powołąc sie na argument, że sin(n!) jest ograniczony bo |sin(n!)|≤1, natomiast 1/n −−>0 i widać, ze też ten iloczyn dązy do zera (tak naprawde to to samo uzasadnienie)

top: −1/n ≤ (sin(n!) )/n ≤ 1/n **

Flo: Ok, rozumiem, dziękuję.

top: