twierdzenie mat: Twierdzenie (Cantor−Bernstein) Jesli A⊆B⊆C i A∼C, to B∼C. Korzystajac z powyzszego twierdzenia udowodnic, ze zbiory A i B sa rownoliczne. A={<x,y>∈R²:x²+y²≤1} B={<x,y>∈R²:x²+y²<1}

PW: Wziąć jako C kółko otwarte o promieniu większym niż 1, np. o promieniu 2. Koła otwarte są równoliczne (jednokładność).

mat: A={<x,y>∈R²:x²+y²≤1} − kolo domkniete B={<x,y>∈R²:x²+y²<1} − kolo otwarte C={<x,y>∊R²:x²+y²<4} −kolo otwarte B⊆A⊆C i B∼C (bo kola otwarte), to z tw. Cantora−Bernsteina A∼C. Ale nalezalo udowodnic rownolicznosc zbiorow A i B? Gdzie jest blad?

b.: jeśli B∼C oraz A∼C, to A~B (przechodniość i symetria) −− łatwo pokazać to bezpośrednio konstruując odpowiednie bijekcje

mat: A czy mozna by to zadanie rozwiazac rowniez tak:

	1
Niech C={<x,y>∈R2:x2+y2≤		} − kolo domkniete
	4

Zatem C⊆B⊆A i C∼A (bo kola domkniete sa rownoliczne), to B∼A.

top: W zasadzie masz racje, ale dość skomplikowane uzasadnienie, Koła domkniete są równoliczne ( prawda, ale brzmi jakby koła domknięte były jakies wyjatkowe ) Najławiej chyba skorzystać z faktu że płaszczyzna jest równoliczna z R a ten jest równoliczny z dowolnym odcinkiem. W każdym z twoich zbiorów znajduje się jakiś nietrywialny odcinek ... i tyle

mat: A gdybym pokazal, ze C∼A poprzez stworzenie bijekcji? Byloby lepiej? Tylko jak taka bijekcje stworzyc?

top: Bijekcje najczęściej nie są takie proste. Jak figury są podobne..to jeszcze jeszcze.. Jak bardzo chcesz sie pobawić to zacząłbym od tego, że jak np chcesz pokazać że (−1,1) jest równoliczny z (−¹₂,¹₂) to tworzymy jakąs funkcję liniową co nie... Wziąłem akurat takie przedziały bo takie zawierają A i C..i teraz trzeba by jakoś inne "średnice" tak odwzorowywać... to co pisze, nie do końca jest formalne ale poprawne, rozumiesz mnie?

top: Najprościej jednak ZAWSZE jest skorzystać z twojego twierdzonka

mat: f: A→C

	1		1
f(<x,y>)=<		x,		y>
	2		2

dobrze?

top: chyba ok, czyli współrzędne każdego punktu skracamy o połowe..

mat: Korzystajac z twierdzenia Cantora−Bernsteina udowodnic, ze zbiory A i B sa rownoliczne. A =zbiór punktów dowolnego kwadratu na plaszczyznie B =zbiór punktów dowolnego trojkata na plaszczyznie A jaki tu pomysl zastosowac?

top: To będzie taki przerost formy nad treścią....no ale trudno (robie teraz prace z topologii i mi przyszlo do głowy) Zauważ, że jak weźmiesz sobie jakiś punk wewnatrz kwadratu, to mozesz znaleść kulę która będzie zawierała ten punkt i będzie też w środku tego kwadratu, teraz biore sobie kulę ktora jest większa d tego kwadratu (zawiera go)...z poprzedniego rozumowania obie kule są równoliczne, Dla trójkata anlogicznie..

top: A skoro kule są rownoliczne (to kwadrat pomiędzy nimi−tw CB) też jest tej samej mocy ..

top: ta kula oczywiście jest ze środkiem (szkole koło)

top: Uogólniajac te zadania.. .. WSZYSTKIE figury na płaszczyźnie są równoliczne (jeśli maja jakieś tam wnętrze)