Zadanie nr 61 5-latek: Może taki układ do rozwiązania {x³−y³= 19(x−y) {x³+y³=7(x+y) Tu bym mogl podzielić stronami dostane

x3−y3		19	(x−y)
	=
x3+y3		7	(x+y)

czy będzie dobrym poomyslem rozpisać strone lewa i wymnozyc na krzyz ?

Janek191: Może trzeba zastosować wzory : a³ − b³ = ( a − b)*(a² + a*b + b²) a³ + b³ = (a + b)*( a² − a*b + b²)

5-latek: WItaj Janek191 Wlasnie to miałem na myśli pisząc o lewej stronie po wymnożeniu na krzyz dostaniemy 7(x²−y²)(x²+xy+y²)= 19(x²−y²)(x²−xy+y²)

PW: A na razie dzielić stronami nie można (niebezpieczeństwo dzielenia przez 0).

5-latek: Tutaj ma być az 9 rozwiazn tego układu

5-latek: Wiec należy zrobić zalozenia x≠y i x≠−y

PW: Chyba dobrze by było zacząć od takich, w których y = x lub y = − x.

5-latek: Nie rozumiem dlaczego . Przeciez wtedy możemy dostać dzielenie przez 0

PW: Nie, nic nie robimy z układem równań i na początku zastanawiamy się − co by było, gdyby y=x (będą takie rozwiązania, czy nie?). Następnie analogicznie dla y = −x. Dopiero po znalezieniu (lub wykluczeniu) takich rozwiązań szukamy dalej, już wtedy można podzielić pierwsze równanie stronami prze (x−y) i drugie przez (x+y).

5-latek: Dobrze. Już rozumiem Pozniej się za to wezme

5-latek: To od początku {x³−y³= 19(x−y) {x³+y³=7(x+y) Sprawdzamy dla y=x {x³−x³= 19(x−x) to 0=0 {x³+x³=7(x+x) to 2x³=14x Sprawdzamy dla y=−x {x³−(−x³)= 19(x−(−x))to 2x³=38x (x³+(−x³)=7(x+(−x)) to 0=0 czyli mogą być takie rozwiązania i wobec tego teraz już mogę podzielić stronami równania układu {x³−y³= 19(x−y)/ (:(x−y) {x³+y³= 7(x+y) /(:(x+y) {x²+x*y+y²=19 {x²−x*y+y²=7 Nie mam dalej pomysłu na ten układ Żeby drugie równanie było inne np. x+y=5 to wtedy bym rozwiazal ale to nie

5-latek: Pomysl żeby lewe strony zwinąć do wzoru (x+y)² nic nie da mi

henrys: po odjęciu równań mamy 2xy=12, xy=6 po dodaniu x²+y²=13

	6
y=		, x≠0
	x

	36
x2+		=13
	x2

x⁴+36−13x²=0 x²=t t²−13t+36=0 Δ=169−144=25

	13−5
t1=		=4
	2

	13+5
t2=		=9...
	2

5-latek: Witaj W sumie ja miałem sobie odpuscic to zadanie bo ono jest trudne Skoro jednak zaczales rozwiazywac (do tego momentu oczywiście rozumiem to mamy dopiero 4 rozwiązania . Brakuje jeszcze 5−ciu rozwiazan według odpowiedzi napisze jakie 1) x=0 y=0 2) x=√7 y=√7 3) x=−√7 y=−√7 4) x=√19 y=−√19 5) x=−√19 y=√19 dziekuje CI oczywiście za zainteresowanie

henrys: z tych pierwszych warunków, które tam napisałeś dostajesz wszystkie pozostałe (5)

henrys: Nie rozumiem tylko dlaczego je wykluczyłeś

5-latek: Dobrze. Wroce później do tego .

5-latek: Już CI pisze dlaczego je wykluczyłem Post 11:01. Zamiast sprawdzać z układu tak jak napisał potem PW to ja to się sugerowałem ta postacia

x3−y3		19(x−y)
	=
x3+y3		7(x+y)

henrys: ale wiesz już o co chodzi?

5-latek: Chyba tak . Dla y=x 2x³=14x 2x(x²−7)=0 to x=0 lub x=√7 lub −√7 natomiast dla y=−x 2x³=38x to x=0 lub x=√19 lub x= −√19 To naprawdę było trudno wpaść na to żeby jeszcze znaleźć te 5 dodatkowych rozwiazan

henrys: nie no bez przesady Przy tego typu równaniach widzisz, że lewe i prawe strony maja wspólne dzielniki, więc na początek możesz sprawdzić czy te liczby spełniają równania i dalej szukać innych rozwiązań

5-latek: dziekuje za pomoc Co do przesady to jednak przeciętnemu licealiście (jak mnie trudno wpaść na to Dletego ze razczej już się nie rozwiazuje w szkole takich ukladow bo nie ma na to czasu i nikt nie tłumaczy raczej takich rzeczy

henrys: masz rację 5−latku jednak licealista z rozszerzoną matematyką jeśli chce podzielić obustronnie przez pewne wyrażenie, to najpierw powinien zrobić założenie co by nie dzielić przez zero, a następnie rozważyć przypadek, gdy dane wyrażenie się zeruje. Podobne zadania (co prawda zazwyczaj równania liniowe , układy równań z parametrem) znajdują się w podręcznikach już dla klasy I liceum. Ty nie jesteś przeciętnym licealistą, a zapaleńcem!

5-latek:

pigor: ... to może pokażę jak inaczej (na rozszerzeniu) rozwiązywać to−to co w poście z godziny17:50 : 2xy=12 i x²+y²=13 /+stronami ⇒ (x+y)²=25 i 2xy=12 ⇔ ⇔ |x+y|=5 i xy=6 ⇔ (xy=6 i x+y=5) v (xy=6 i x+y= −5) ⇔ wzory Viete'a, więc w ... naprawdę z pamięci mamy 4 rozw. (x,y)=(2,3) v (x,y)=(3,2) v (xy)=(−2,−3) v (x,y)=(−3,−2). ...