Trygonometria + szereg Rajstopy: Wyznacz zbiór wartości funkcji cos x + cos x² + cos x³ + ...

	cos x
Po zastosowaniu wiadomości z szeregu geometrycznego wyszło mi wyrażenie
	1−cos x

Wiem że −1 ≤ cos x ≤1 ale jak ten ułamek wyżej formalnie oszacować ?

5-latek:

PW: No nie wiem, czy zastosowałaś wiadomości o szeregu geometrycznym. Jeżeli cosx = −1 albo cosx = 1, to suma nie istnieje (funkcja nie jest określona).

Rajstopy: PW możesz to zadanie zrobić ? Ma gwiazdkę w zbiorze i jest jedyne z szeregu jakiego nie potrafię

Rajstopy: a₁=cos x q=cos x Aby szereg istniał to |q|<1 czyli cos x ∊ (−1,1)

pigor: ... , np. tak q=cosx i −1< cosx <1 ⇔ −1< 1−2sin^2x₂ <1 /−1 ⇔ ⇔ −2< −2sin^2x₂ < 0 /*(−1) ⇔ (*) 0< 2sin^2x₂ <2 , zatem

cosx
	=
1−cosx

	cos2x2−sin2x2
=		=
	sin2x2+cos2x2−cos2x2+sin2x2

	1
=		−1, stąd i z (*)
	2sin2x2

	1		1
⇒		> 12 / −1 ⇔		−1 > − 12 ,
	2sin2x2		2sin2x2

a więc przedział (− ¹₂ ;+∞) − szukany zbiór wartości. ...

PW: Tak. Należy podać dziedzinę, to znaczy wszystkie x oprócz kπ, k∊C. Dla takich x funkcja cosx przyjmuje wszystkie wartości między −1 a 1, należy więc ustalić jakie wartości przyjmuje

	u
g(u) =		, u∊(−1,1).
	1−u

Można zbadać tę funkcję metodami rachunku różniczkowego albo elementarnie ustalić zbiór wartości rozstrzygając, dla jakich wartości parametru w równanie g(u) = w ma (co najmniej jedno) rozwiązanie.

Rajstopy:

	u
Nie umiem tego zrobić tzn oszacować wyrażenia		gdzie u∊(−1,1)
	1−u

PW: O, ja tu "podprowadzam" pytającą inną drogą, a pigor już rozwiązał ...

Rajstopy: pigorek dzieki

Rajstopy: Wrócę tu na moment

	cos x
Można by było oszacować wartość wyrażenia		poprzez narysowanie funkcji
	1−cos x

	t
f(t)=		gdzie t∊(−1,1)
	1−t

I jakbym już to miała narysowane to wówczas odczytać tylko trzeba było zbiór wartości tej funkcji w tym przedziale ?

Kacper: Tak, można

asterix: Może to pomoże:

	x		x		x		x
cosx = cos2		− sin2		= 1 − 2sin2		= 2cos2		− 1
	2		2		2		2

	x		x
1 − cosx = 2sin2		, 1 + cosx = 2cos2
	2		2

cosx		x   cos2   2		x   sin2   2
	=		−		=
1 − cosx		x   2sin2   2		x   2sin2   2

	1		x		1
=		ctg2		−
	2		2		2