asymptoty bimbam: hej Treść zadania jest następująca: "Znaleźć ekstrema następujących funkcji i równania asymptot odpowiadających im krzywych" Ja rozumiem to polecenie jako: znajdź asymptoty ukośne, poziome i pionowe.

	x		2
Funkcja ma wzór y=		+
	2		x

Odpowiedzi to: y=6 // to jest zła odpowiedź

	x
y=
	2

Z wykresu wynika, że jest asymptota pionowa i ukośna http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F2%2B2%2Fx Nie wiem, czy dobrze liczę asymptotę pionową D=R−{0} więc podejrzewam, że asymptota może być w punkcie x=0, więc liczę obustronną granicę funkcji przy x→0

	x		2
limx→0−		+		=
	2		x

	x2 + 4		4
limx→0−		=		= −∞
	2x		0−

	x		2
limx→0+		+		=
	2		x

	x2 + 4		4
limx→0+		=		= +∞
	2x		0+

Z rysunku wynika, że asymptota pionowa istnieje w punkcie x=0. Mi też wyszła z obliczeń (nie wiem, czy są one prawidłowe). Dlaczego w odpowiedziach jest tylko asymptota pozioma

PW: Może dlatego, że asymptota pionowa (lewo− i prawostronna) to dla autora oczywistość. Dla x > 0 istnienie minimum funkcji wynika np. z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:

	x		2
		+		≥ 2√x2·2x = 2,
	2		x

przy czym równość ma miejsce tylko dla takich x, dla których składniki są równe, to znaczy

	x		2
		=		⇔ x = 2.
	2		x

A jakie będzie ekstremum i w jakim punkcie dla x < 0?

bimbam: wyszło mi maksium dla x=−2 oraz minimum dla x=2

bimbam: mam jeszcze pytanie co do asymptoty pionowej. Jeśli dziedzina funkcji to R, to w ogóle nie liczę asymptoty pionowej, bo ona może istnieć tylko tam gdzie funkcja jest nieokreślona

PW: Oczywiście.

bimbam: dziękuję

PW: Coś za szybko odpowiedziałem Może być taka sytuacja, że funkcja jest określona w punkcie x₀, ale z jednej strony tego punktu wykres ma asymptotę pionową. Dzieje się tak np. w przypadku funkcji definiowanych kilkoma wzorami − "sklejanych". Przykład:

	⎧	1x dla x < 0
f(x) =	⎨
	⎩	2x dla x ≥ 0

W punkcie x₀ = 0 jest asymptota pionowa jednostronna.

bimbam: jeszcze przypomniało mi się zagadnienie dziedziny. W jednym z filmików na YT osoba rozwiązująca zadanie dot zmiany przebiegu zmienności funkcji mówiła, że dziedzina pochodnej nie może być większa niż dziedzina funkcji.

	2x + 1
Czyli np jeśli jest y=
	x− 4

Wtedy dziedzina funkcji to x∊R−{4} Z kolei dziedzina pochodnej to x∊R, bo ze wzoru na pochodną ilorazu wiadomo, że mianownik pochodnej to (x− 4)² Czy tutaj trzeba zawężać tą dziedzinę pochodnej do x∊R−{4}

henrys: Dlaczego dziedzina pochodnej to R? Poza tym pochodna może istnieć tylko w punktach dziedziny funkcji. Jeśli jakiś punkt nie należy do dziedziny funkcji, to w tym punkcie dana funkcja nie ma pochodnej.

bimbam:

	(2x+1)`(x−4)−(2x+1)(x−4)`
y`=
	(x−4)2

(x−4)² jest dodatnie dla każdego x, więc myślałem, że dziedzina pochodnej to R. Więc źle myślałem

henrys: dziedzina pochodnej to x≠4, popatrz chwilę

bimbam: czyli chodzi o to, że jest pierwiastek podwójny x=4

john2: x = 4 nie może być pierwiastkiem jakimkolwiek, bo nie należy do dziedziny

john2: (x − 4)² > 0 jest prawdziwe dla każdego R, poza liczbą x = 4

bimbam: Chodziło mi właśnie o to, że x=4 "zeruje" mianownik. Trzeba powtórzyć podstawy. Dzięki

john2: Miałem napisać: jest prawdziwe dla każdego x ∊ R\{4} Nie wiem, o co chodziło autorowi, gdyż w tym przypadku dziedziny są te same. Lepiej spojrzeć na taki przykład f(x) = lnx

	1
f'(x) =
	x

Dziedzina pochodnej, wydawałoby się, to x ∊ R\{0}, ale badasz oczywiście funkcję w przedziale x∊(0,+∞).

bimbam: dzięki, dobry przykład podałeś