Zadanie nr 55 5-latek: Witam. Znalezc wszystkie pierwiastki równania (x²+x)⁴−1=0 [(x²+x)²−1][(x²+x)²+1]=0 (x²+x)²−1=0 to (x²+x−1)(x²+x+1)=0 x²+x+1=0 Δ=−3 √Δ= i√3

	−1+i√3
x1=
	2

	−1−i√3
x2=
	2

lub x²+x−1=0 Δ=5 √Δ= √5

	−1+√5
x3=
	2

	−1−√5
x4=
	2

Teraz zostało do rozwiązania równanie (x²+x)²+1=0 Po wymnożeniu dostane x⁴+2x³+x²+1=0 W(1)= 1⁴+2*1³+1²+1≠0 w(−1)= (−1)⁴+2*(−1)³+(−1)²+1= 1−2+1+1≠0 Grupowanie tez nie bardzo chyba ze jest jakiś sposób aby to rozlozyc ?

Saizou : można tak (x²+x)²+1=0 (x²+x)²−i²=0 (x²+x−i)(x²+x+i)=0 a dalej już chyba umiesz

5-latek: Witaj Mysle ze tak x²+x−i=0 Δ= 1+4i √Δ= √1+4i Dobrze ?

Saizou : tak

5-latek:

	−1+√1+4i
x5=
	2

	−1−√1+4i
x6=
	2

następne równanie x²+x+i=0 Δ= 1−4i to √Δ= √1−4i

	−1+√1−4i
x7=
	2

	−1+√1−4i
x8=
	2

Mozesz to sprawdzić ? Natomiast w odpowiedzi mam tak

1		√17+1		√17+1
	(−1+/− √		+/− √		i)
2		2		2

5-latek: napisane dwa razy to samo

Saizou : wolfram mówi tak jak ja http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2%2Bx%29%5E4-1%3D0 może to inna forma po prostu, stawiam że obliczali √1+4i, ale jest za gorąco, na liczenie

5-latek: Jasne Ale z tym −i²=1 to dobry patent

Saizou : jak to mój prof od algebry mówił, ciało liczb zespolonych jest o wiele przyjemniejsze od ciała liczb rzeczywistych.

5-latek: Może jeszcze PW albo ZKS tutaj spojrzy A profesorowi powiedz ze lepiej mieć kolo siebie ciało rzeczywiste

Saizou : żeby nie było że nie umiem z=a+bi z=√1+4i √1+4i=a+bi 1+4i=a²−b²+2abi i mamy układ a²−b²=1

	2
2abi=4i⇒ab=2⇒a=		, dla b≠0
	b

4
	−b2=1
b2

b⁴+b²−4=0 Δ=1+16=17 √Δ=√17

	−1−√17
(b1)2=		co jest sprzeczne
	2

	−1+√17		−1+√17
(b2)2=		⇒b2=±√
	2		2

no i trzeba jeszcze doliczać wartości a ale mi się już nie chce

5-latek: Nawet mi to przez myśl nie przeszlo . Napisales ze jest goraco

Saizou : no bo jest, nic się nie chce

5-latek: No dobrze ale skoro już zaczales liczc to należy obliczac według tego schematu co TY z= √1+4i a także z=√1−4i ?

Saizou : tak, początek będzie taki sam

5-latek: no to z=a+bi to √1−4i= a+bi /² 1−4i= a²+2abi −b² Teraz mamy układ a²−b²=1 bo czesc rzeczywista =1 2abi= −4i (bo czesc urojona to −4i

	−2
Teraz ab=−2 to a=
	b

	−4
to		−b2=1 *(b2)
	b2

−4−b⁴=b² −b⁴−b²−4=0 *(−1) b⁴+b²+4 Δ=−1 to √Δ= √−17 = i√17

	−1+i√17
b12=
	2

	−1−i√17
b22=
	2

5-latek: Zapiszmy to inaczej żeby nie mylic już oznaczen

	−1+i√17		−1+i√17
b32=		to b3=± √
	2		2

	−1−i√17		−1−i√17
Teraz b4=		to b4= ±√
	2		2

Teraz dlaczego musimy doliczać a ?

ZKS: 5−latek wykorzystaj wzór.

	1
√1 − 4i = ±		[(√17 + 1)1/2 − i(√17 − 1)1/2]
	√2

5-latek: ja tego nie rozumiem naprawdę To jest wszystko dla mnie nowe Wiec jeśli możesz to pomoz mi najpierw zrozumiec ten sposób który zaproponowal Saizou mam obliczone b₂ i b₃ Teraz mam doliczyć a czyli to a muszse doliczyć ze wzoru a²−b²=1 czy z innego ?

5-latek: Bo licząc kazde a z tego wzoru a²−b²=1 to można się zajechać z obliczeniami

5-latek: Już chyba lapie o co chodzi z tym wzorem Pokazywales go wczoraj Chodzi o ten wzor

	1
√z= ±		(√|z|+x+sgn(y)i√|z|−x) gdzie |z|= √x2+y2
	√2

to jeśli mamy z=1−4i |z|= √1²+(−4i)²= √17

	1
Wiec √1−4i= ±		(√17+1 − i(√17−1)
	√2

	1
A czy √1+4i=		(√17+1+i(p{17−1)) ?
	√2

ZKS: Tak, brakuje tylko jeszcze pierwiastków

	1
√1 − 4i = ±		[(√17 + 1)1/2 − (√17 − 1)1/2], a sgn(y) oznacza
	√2

signum y przeczytaj https://pl.wikipedia.org/wiki/Signum

5-latek: Bo to mam rozumieć w tym wzorze tak tam jest +sgn(y) jeśli będzie znak(+) ygreka to we wzorze będzie +i(√|z|−x Jeśli będzie znak (−) ygreka to we wzorze będzie −i(p{z|−x

ZKS: Dokładnie.

5-latek: Wlasnie zauwazylem teraz ze nie dopisałem pierwiastka

	−1+√1+4i		1   −1+ (√17+1)0,5+i√17−1)0,5   √2
To teraz x5=		=
	2		2

tak samo będę liczyl pozostale pierwiastki

5-latek: Ale wlasnie

	−1−√1+4i
x6=
	2

	1   −1− (√17+1)0,5+i(√17−1)0,5   √2
x6=
	2

5-latek: Dziekuje CI bardzo za pomoc ZKS

ZKS: Nie ma za co, proszę bardzo.