Zadanie nr 54 5-latek: I podobne zadanie do porzedniego x⁶=1 Mogę to zapisac tak x⁶−1=0 (x−1)(x⁵+x⁴+x³+x²x+1)=0 to x=1 lub x⁵+x⁴+x³+x²+x+1=0 Tutaj już latwiej bo można pogrupować wyrazy x⁴(x+1)+x²(x+1)+1(x+1)=0 (x+1)(x⁴+x²+1)=0 ale tu już będą zespolone pierwiastki oporocz x=−1 Tutaj także mogę sobie kombinować np. x⁶−1=( x³)²−1¹= (x³+1)(x³−1)=0 Także mogę tez zapisac x⁶−1= (x²)³−1³=(x²−1)(x⁴+x²+1)=0 Ale i takbede miał zespolone pierwiastki

5-latek: Mam tak x⁴+x²+1=0 Δ= 1−4=−3<0 teraz ?

ZKS: x⁴ + x² + 1 = x⁴ + 2x² + 1 − x² = (x² + 1)² − x² = (x² − x + 1)(x² + x + 1)

5-latek: A taki myk ? A moglbys to rozwiąż to równanie (będę wdzięczny x⁴+x²+1 =0

ax: (x³−1)(x³+1)=(x−1)(x²+x+1)(x+1)(x²−x+1)

J: Cześć.. ... rozwiązujesz nawiasy tak samo jak gdyby Δ > 0 z tym,że dostaniesz: √−3, gdzie: √−3 = √−1*√3 = i*√3 ( i = √−1 ) − jednostka urojona )

5-latek: tak jednak bardziej zależy mi na rozwiązaniu tego równania

ZKS: Skoro wiemy już, że x⁴ + x² + 1 = (x² − x + 1)(x² + x + 1) wykorzystajmy to i zapiszmy równanie x⁴ + x² + 1 = 0 równoważnie (x² − x + 1)(x² + x + 1) = 0 x² − x + 1 = 0 ∨ x² + x + 1 = 0 Δ₁ = −3 ∨ Δ₂ = −3 √Δ₁ = i√3 ∨ Δ₂ = i√3

	1 ± i√3		−1 ± i√3
x1 ; 2 =		∨ x3 ; 4 =
	2		2

5-latek: Dobrze J to w takim razie

	−1−i√3
x12=
	2

	−1+i√3
x22=
	2

	−1−i√3		−1−i√3
to x1= √		lub x1= −√
	2		2

czy te pierwiaski x₁ sa dobrze jeśli tak to tak samo policze x₂

J: popatrz wyżej

5-latek: Chyba cos zrobiłem zle bo x⁴+x²+1=0 liczyłem od razu delte (bez podstawienia x²=t

5-latek: Dobrze J Popatrzylem na rozwiązanie kolegi ZKS Natomiast ja rozwiazywalem tak Liczylem delte potem x₁ i x₂ ,. jednak zamiast x₁ i x₂ w związku z tym ze nie robilem podstawienia wyszlo x₁² i x₂² . Potem x₁²= √x₁ lub − √x₁(tak jak licze równanie w liczbach R (ale to chyba nie tak ?

ZKS:

	−1 ± i√3		−1 ± i√3
(		)1/2 = ±(		)
	2		2

5-latek: To wychodzi z tego ze to równanie ma 6 pierwiastkow .

J: nie tak ... lepiej jest tak, jak pokazał ZKS , ale:

	−1 −i√3
jeśli np: x2 =		, to istnieje sposób aby obliczyć: x1 i x2 , ale to juz
	2

musisz posiedzieć w liczbach zespolonych

ZKS:

	−1 + i√3		1 + i√3
Dokładniej to (		)1/2 =		.
	2		2

J: ..tak, 6 pierwiastków

5-latek: To trzeba się jednak pouczyć liczb zespolonych . na razie dziekuje . Czas spadac

ZKS: Istnieje wzór dla liczb zespolonych, jeżeli z = x + iy to

	1
√z = ±		[√|z| + x + sgn(y)i√|z| − x], gdzie |z| = √x2 + y2.
	√2

	1		i√3		1		√3
Jeżeli z = −		−		, więc x = −		oraz y = −		, zatem |z| = 1, dalej
	2		2		2		2

	1		1		i√3		1		i√3
√z = ±		(		−		) = ±(		−		).
	√2		√2		√2		2		2

J: Witaj ZKS ... w swoim życiu na oczy nie widziałem takiego wzoru

ZKS: Witaj J. Jest też wzór dla liczb rzeczywistych. Mając liczbę postaci x ± √y, wtedy

	√x + z		√x − z
(x ± √y)1/2 =		±		, gdzie z = √x2 − y.
	√2		√2

Przykładowo dla (3 + 2√2)^1/₂, więc x = 3 oraz √y = 2√2, zatem z = 1. Wstawiamy wszystko i otrzymujemy,

	2		√2
(3 + 2√2)1/2 =		+		= √2 + 1.
	√2		√2

J: Dzięki ...

ZKS: Nie ma sprawy.

5-latek: O tych zespolonych to na pewno się przyda

Kacper:

5-latek: I wlasnie się przydalo

ZKS: 5−latek ten wzór można wyprowadzić, żeby łatwiej go było można zapamiętać. √x + iy = a + bi x + iy = a² − b² + 2iab 1^o x = a² − b² ∧ 2^o y = 2ab x² = (a² − b²)² ∧ y² = (2ab)² Dodając stronami 1^o oraz 2^o otrzymujemy x² + y² = (a² + b²)² 3^o √x² + y² = a² + b² teraz dodajemy stronami 1^o oraz 3^o, a raz odejmujemy od 3^o równanie 1^o i otrzymujemy √x² + y² + x = 2a² ∧ √x² + y² − x = 2b², stąd dostajemy

	1		1
a = ±		(√x2 + y2 + x)1/2 ∧ b = ±		(√x2 + y2 − x)1/2, teraz
	√2		√2

jeżeli y > 0 to znak pozostaje bez zmian, jeżeli y < 0 to znak zmieniamy na przeciwny. Łącząc to w całość dostaniemy dany wzór, dla y > 0

	1
√x + iy = ±		[(√x2 + y2 + x)1/2 + (√x2 + y2 − x)1/2]
	√2

dla y < 0

	1
√x + iy = ±		[(√x2 + y2 + x)1/2 − (√x2 + y2 − x)1/2].
	√2