podstawienia azeta: witam, chciałbym o coś spytać, ale również przepraszam, że o to pytam, bo może moje pytanie jest wynikiem jakiejś ignorancji jednakowoż muszę o to spytać bo nie daje mi to spokoju.tawienia po prostu tak konie otóż: dochodzę do takiego momentu rozwiązywania całek, kiedy pojawiają się różne dziwne podstawienia (u Krysickiego nie ma zbytnio wytłumaczone dlaczego tak wyglądają te podsc kropka) − różne podstawienia Eulera itd (pamiętam już kiedyś o Eulera pytałem i zostałem odesłany do linka− tam było wyjaśnione, za co dziękuję jeszcze raz). ale moje pytanie jest

	xdx
teraz troszeczkę innej natury. mianowicie nawet całka tak prosta (teraz) jak ∫
	x2+1

zastanawia mnie, dlaczego podstawiam pod funkcję kwadratową w mianowniku funkcję liniową t? ja wiem, że chcę uprościć to wyrażenie, ale dlaczego JA MOGĘ TO ZROBIĆ? z czego to wynika? za pewne działa tutaj intuicja matematyczna, ja chyba jednak takiej nie posiadam. może moje pytanie wyda się komuś głupie... ale dręczy mnie to najzwyczajniej w świecie i nie daje spać

azeta: "tawienia po prostu tak konie" ucięło w linijce z Krysickim, ah te nieporadne rączki

kyrtap: masz rację w podstawieniu trzeba pewne rzeczy zauważać i dużo takich przykładów przerobić aby pewne rzeczy sobie przyswoić

kyrtap: polecam do całek Banasia tam są solidne przykłady dzięki czemu będziesz mógł sobie 2 lub 3 tricki przećwiczyć na jednej całce

Mila:

	1
[x2+1=t, to 2xdx=dt , xdx=		dt ] stąd taka korzyść, że otrzymujesz całkę:
	2

1		1
	∫		dt a z tym już nie masz problemu, bo to całka elementarna.
2		t

azeta: ja wiem wiem, całą istotę podstawienia samą w sobie rozumiem− podstawienie aby uzyskać całkę którą umiem rozwiązać. chodzi mi jednak o to, z czego wynika ta uniwersalna własność że właśnie mogę za x²+1 podstawić funkcję t. dlaczego mogę?

azeta: czy w ogóle moje pytanie jest pozbawione kompletnie sensu bo pytam o coś oczywistego? jeśli tak proszę mnie wyprowadzić z niewiedzy

kyrtap: rozwiązywałeś równanie przykładowo 4x⁴ + 3x² + 1 = 0 ?

pigor: ..., lub po prostu od razu ... zauważasz, że warto z licznika "zrobić" pochodną mianownika np. tak:

	xdx		2xdx		f'(x)dx
∫		= 12 ∫		, bo wtedy ze wzoru ∫		= ln|f(x)| ,
	x2+1		x2+1		f(x)

masz := ln|x²+1| = ln(x²+1) + C. ... −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− aby to weszło ci w krew musisz przez ćwiczenie ... do tego "dojrzeć" ; nie ma nic ot tak... od razu . ...

azeta: tak, podstawienie t=x². ale znowu, kurczę wydaję mi się to jakieś takie "na pałę", widzę sens ale nie widzę: czemu tak mogę zrobić.

pigor: ..., a podstawienie takie, a nie inne, bo w głowie musisz (ćwiczenie i jeszce raz ćwiczenie) "widzieć", że ono po zróżniczkowaniu (x²+1)'= 2x daje licznik i tyle

azeta: da się jakoś te podstawienia "wyprowadzić" i dowieść ich "prawdziwości"?

Lorak: Napisałeś: "chodzi mi jednak o to, z czego wynika ta uniwersalna własność że właśnie mogę za x²+1 podstawić funkcję t. dlaczego mogę?" Chyba jednak trochę źle interpretujesz 'podstawienie'. Nie traktuj t jako funkcji, tylko po prostu jako literkę pod którą kryje się jakieś wyrażenie, np. x²+1. Wprowadzasz tą literkę po to, żeby ciągle nie przepisywać x²+1. Dodatkowo łatwiej jest coś zauważyć mając jedną literkę, a nie jakieś dłuższe wyrażenie.

pigor: ..., a ty widzę ... swoje ; chcesz wyważać... otwarte drzwi; każde podstawienie będzie dobre jeśli tylko sprowadzi twoją całkę do tzw. całki elementarnej, którą możesz mieć w głowie, a jak nie, to np. w tablicach całek jako gotowe wzory do wykorzystania ... i tyle. ...

Przemysław: "ale dlaczego JA MOGĘ TO ZROBIĆ?" Wydaje mi się, że wynika to z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie (to, że możesz podstawić)

pigor: ..., krótko mówiąc cel (wyznaczenie całki) uświęca środki ( takie, a nie inne podstawienie...

pigor: .., no dobrze, to najlepiej niech ci wujek Google znajdzie i wytłumaczy − − moim zdaniem żadne twierdzenie tylko jedną z metod całkowania funkcji zwaną przez podstawienie takie, czy inne dla danej całki. ...

Przemysław: @pigor ale metody muszą z czegoś wynikać. To nie jest raczej "tak, bo tak"

Przemysław: http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wykład_14:_Całka_Riemanna_funkcji_jednej_zmiennej Twierdzenie 14.19. Tutaj jest to wypisane zdaje się. Oczywiście mogę się mylić.

pigor: ..., całka jako pole obszaru, całka Riemana to teoria , a wyznaczanie całek nieoznaczonych to praktyka potrzebna do obliczania tego pola ...

pigor: ..., metoda podstawiania to nie teoria tylko technika pozwalająca obliczać to pole w praktyce. ...

Przemysław: Metoda podstawiania to oczywiście praktyka. Ale przeciez praktyka z czegos wynika. To nie jest tak, że ktos powiedzial "słuchajcie − jak podstawie tutaj t, pomnożę funkcje podcałkową przez pochodną tego, za co podstawiam t, to wynik będzie taki sam, po wróceniu z podstawieniem, jakbym liczył innymi metodami, bez podstawiania". Tak samo sposoby obliczania pierwiastków równania kwadratowego są technikami, ale przeciez skądś to wynika, ze jak wyliczę deltę czy tam narysuję odpowiedni okrąg to dostanę to, czego szukam. Tak samo jak to, ze calkę potrójną mozna zamienic na iterowaną z czegoś wynika, chociaż jest to technika wykorzystywana przy liczeniu. Tak mi się przynajmniej wydaje

on: @krtap co do zbioru Banasia i Wedrychowskiego, to znalazłem niepochlebna opinie: http://merlin.pl/Zbior-zadan-z-analizy-matematycznej_Jozef-Banas/browse/product/1,477995.html nie znam go osobiście za to znam np.http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/104407/matematyka-dla-studentow-i-kandydatow-na-wyzsze-uczelnie.html i nt. samych całek: http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/167867/calki.html ale chyba musisz sam sprawdzić co ci najbardziej przypasuje de gustibus non disputandum est

azeta: właśnie, chodzi mi o pewne "wynikanie"

	dx
jak np jest całka ∫		to podstawienie wygląda x−a=√bt
	(x−a)2+b

co doprowadza całkę do rozwiązania z arctg a jak całka ∫{dx}{(x−a)ⁿ√bx²+cx+d to podstawienie wygląda jakoś tam itd itd. a może te podstawienia w "prostych" funkcjach wynikają z tego iż ja się w pewnym sensie po prostu domyślam rozwiązania?

azeta:

	dx
∫		tak ta całka miała wyglądać, ale to w sumie nieistotne
	(x−a)n√bx2+cx+d

Mariusz: Masz cztery przypadki b=0 Podstawienie za pierwiastek b>0 Tutaj zadziała pierwsze podstawienie Eulera √bx²+cx+d=t−√bx b<0 Tutaj zadziała trzecie podstawienie Eulera √bx²+cx+d=(x−x₁)t Zakładamy że Δ=b²−4ac>0 bo inaczej trójmian pod pierwiastkiem stale przyjmowałby wartości ujemne W przypadku gdy b=0 ⋀ c=0 masz całkę tablicową (całka z potęgi)