Rozwiąż równanie sin^2x - 4 sin^2x + 1 = 0 w przedziale <0, 2pi> Ilona: Witam, Zadanie jest z tegorocznej matury, wzięte stąd: https://matematykaszkolna.pl/strona/4493.html Czy mógłby ktoś wyjaśnić mi, jaka jest zasada obliczania tych wartości na końcu? Że π−π/4 itp. czemu akurat tak a nie inaczej. Resztę zadania generalnie rozumiem, ale tego nie całkiem. Byłabym wdzięczna za pomoc. Przepraszam jeśli dubluję treść w jakiś sposób ale chciałabym to zrozumieć.

PW: To jest skutek własności funkcji sinus (dlatego warto posługiwać się jej wykresem przy udzielaniu odpowiedzi). Własności te są nazywane wzorami redukcyjnymi, na przykład: sin(π − α) = sinα

	π
jest jednym z takich wzorów redukcyjnych; po podstawieniu α =		otrzymujemy
	4

	π		π
sin(π −		) = sin		,
	4		4

czyli

	π		√2
sin(π −		) =		.
	4		2

	π		√2
W ten sposób uzasadniamy, że oprócz pamiętanej przez wszystkich sin		=		jest
	4		2

jeszcze druga liczba, której sinus ma tę samą wartość. Rysunek służy temu, by nie szukać trzeciej.

J: Do tego , co napisał PW musimy dodać komentarz,że rozpatruje On jedynie przedział: <0,2π>

J: Zastanów się Ilona , czy w przedziale <0,2π> istnieją 3 kąty , których sinus ma ta samą wartość

PW: Masz rację, ale było to w treści zadania, więc nie powtarzałem założenia.

J: nie chciałem, aby jej utkwiło w pamięci , że istnieją tylko dwa kąty takie ,

	√2
że sinx =
	2

Ilona: Dzięki za pomoc. Rozumiem o co chodzi z przedziałem i tym, że są dla zadania tylko cztery rozwiązania, to jest dość ewidentne na wykresie. Dzięki @PW, nie zauważyłam wcześniej że to się bierze z tego wzoru redukcyjnego, bo przecież π to w mierze łukowej 180 stopni. Czyli dla x3 stosujemy ten sam wzór, tylko że po podstawieniu wychodzi: sin(π − ( − sin45)) = π + π/4? Dobrze to rozumiem? Dla x4 jest ten sam wzór tylko musimy odjąć, bo 2π to 360 stopni i dlatego jest 2π − π/4, a nie 2π + π/4?

J: dla x₃ stosujemy wzór: sin(π + x) = −sinx

	√2		π		π
czyli: −		= − sin		= sin(π +		)
	2		4		4

J: albo: − sinx = sin(−x) = sin[π − (−x)] = sin(π + x)

J: dla x₄: sin(k*2π + x) = sinx

	√2		π		π		π
czyli: −		= sin(−		) = sin[1*2π + ( −		)] = sin(2π −		)
	2		4		4		4

Ilona: Ok. Alles klar, dziękuję raz jeszcze

Ilona: Pozostaje po prostu przyswoić te wzory

J: i nie trzeba wcale uczyć się ich na pamięć ... jest prosty sposób, aby każdy wyprowadzić w pamięci

Ilona: Jaki to sposób, zapamiętać jeden konkretny i kombinować wokół niego? Czy coś lepszego?

J: 1) zapamietać wierszyk: w pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotanges, a w czwartej cosinus 2) dla nieparzystej wielokrotności kąta 90⁰ funkcje przechodzą w kofunkcje: np: cos(180 − x) ... druga ćwiartka, a wiec cos jest ujemny i nie przechodzi w kofunkcję, czyli: cos (180 − x) = − cos np: sin(270 + x) ... czwarta ćwiartka, a więc sinus jest ujemny i przechodzi w kofunkcję: sin(270 +x) = − cosx