Nierówności Przemysław: n,m naturalne udowodnić: n ∑(2i−1)^m>n^m+1 i=1 Proszę o pomoc

Godzio: O ile znasz nierówność Höldera (a może chcesz poznać), z tym skojarzyła mi się ta nierówność i wyszło ( ∑(2i − 1)^m )^1/m * ( ∑1^m/(m−1) )^(m−1)/m ≥ ∑(2i − 1) ( ∑(2i − 1)^m )^1/m * n^(m−1)/m ≥ n² / * n^(m−1)/m ( ∑(2i − 1)^m )^1/m ≥ n^{2 − (m − 1)/m} /^m ∑(2i − 1)^m ≥ n^{m + 1} U nas jest skończona suma, https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_H%C3%B6ldera x_i = 2i − 1 y_i = 1

Przemysław: Pięknie dziękuję

Przemysław: A jeszcze takie pytanko: W zadaniu była nierówność ostra. Co z przypadkiem gdy L=P?

ZKS: Trochę inaczej niż Godzio. Mam coś takiego ze średnich, tylko nie wiem czemu tam jest zwrot " > ", a nie " ≥ ". 1^m + ... + (2n − 1)^m > n^{m + 1}

1m + ... + (2n − 1)m
	> nm
n

	1m + ... + (2n − 1)m
(		)1/m > n
	n

_{i = 1}∑ⁿ (2i − 1) = n² Średnia potęgowa stopnia m ≥ średnia arytmetyczna

	1m + ... + (2n − 1)m		n2
(		)1/m ≥		= n.
	n		n

Przemysław: @Godzio Już mam − tam w jednym miejscu jest coś w stylu: L≥n²+n≥n² i dalej: L≥≤n² ale tak naprawdę to równość nie zajdzie, chyba, że n=0, a ten przypadek raczej odpada skoro suma jest od 1 do n. @ZKS Dziękuję za rozwiązanie. Zaraz sobie przeanalizuję

Przemysław: Poprawka − tam miało być "L≥n²" bez tego "≤"

Godzio: Dla n = m = 1 mamy równość

Przemysław: Jednak się myliłem, bo u mnie ∑(2i−1)=n²+n, a to jest przecież n² po prostu. Czyli w sumie dalej nie wiem, jak to jest z tą równością

Przemysław: Hmm... to może się pomylili w poleceniu. Bo tam ma być ostra nierówność, a nam wychodzi nieostra

ZKS: Godzio jak i ja pokazaliśmy, że zwrot powinien być " ≥ ".

ZKS: Chociaż tylko o nierówności Höldera, gdzieś słyszałem (czytałem) nie wiem, czy nie w " Ku chwale nierówności ", ale nigdy nie stosowałem.

Przemysław: Tzn. mogliście to pokazać, a może jednocześnie zachodzić ">", bo jeżeli "≥" to może być ">" ale nie odwrotnie

Godzio: No podałem Ci prosty przykład równości dla m = n = 1, więc nie może być >

Godzio: ZKS, ja na studiach ciągle z niej korzystałem, na szczęście został OSTATNI przedmiot teoretyczny

Przemysław: @Godzio Oczywiście masz rację