Nierówności Przemysław: S=a₁+...+a_n Nie rozumiem takiego przejścia: n

	S		Sn2
∑		≥
	S−ai		Sn−(a1+...+an)

i=1 Zdaje się, że to wynika z nierówności Couchy−ego−Buniakowskiego−Shwarza ale nie widzę jak, proszę o pomoc

Godzio: Jeśli założenia są takie jak poprzednio tzn. a_i ∊ (0,1) to

	Sn2		n2
Prawa =		=
	Sn − S		n − 1

	S		S
Lewa =		+ ... +		=
	S − a1		S − an

	a1 + ... + an		a1 + ... + an
=		+ ... +		=
	a2 + ... + an		a1 + ... + an−1

	a1		an
=		+ 1 + ... +		+ 1 ≥
	a2+...+an		a1 + ... + an−1

	a1		an		a1 + ... + an
≥		+ ... +		+ n =		+ n =
	n − 1		n−1		n − 1

	a1 + ... + an + n2 − n		a1 − 1 + ... + an − 1 + n2
=		=		≥
	n − 1		n − 1

	0 + ... + 0 + n2		n2
≥		=		= Prawa
	n − 1		n − 1

Przemysław: Zdaje się, że jest tylko: a_i>0

Przemysław: Przepraszam, że nie dopisałem

Godzio: No dobra, to myślę dalej, ale i tak widzę błąd bo skorzystałem z tego, że a_i ≥ 1

Przemysław: Doszedłem do czegoś takiego

	S		n2S
∑		≥(∑ √		)2
	S−ai		nS−ai

Cokolwiek to da?

Godzio: Ale n ≥ 2 bo dla n = 1 mamy 0 w mianowniku, skorzystam z poprzedniego wpisu

	a1		an
Lewa = ... =		+ ... +		+ n ≥
	a2 + ... + an		a1 + ... + an−1

	a1		an		n2
≥		+ ... +		+ n = 2n ≥		⇔
	S		S		n − 1

2n² − 2n ≥ n² ⇔ n² ≥ 2n ⇔ n ≥ 2 Więc nierówność jest prawdziwa dla każdego n ≥ 2,

Godzio: Nie za bardzo widzę, gdzie wtrącić tą nierówność Ale myślę, że moje rozwiązanie jest dosyć proste

Przemysław: Faktycznie Dziękuję!

Vax:

	a1		an
Godzio, jest trochę źle, bo		+ ... +		+ n = n+1 a nie 2n.
	S		S

Przemysław, skorzystaj z nierówności Cauchy'ego Schwarza w formie Engela, tj:

	xi2		(x1+x2+...+xn)2
∑		≥
	yi		y1+y2+...+yn

Dla dowolnych rzeczywistych x_i oraz y_i > 0. Korzystając z tej nierówności dostajemy:

	S		S2		(S+S+...+S)2		n2S2
L = ∑		= ∑		≥		=		=
	S−ai		S2−Sai		nS2 − S2		nS2 − S2

	Sn2
		= P
	nS − S

Przemysław: Dziękuję bardzo, Vax!