Nierówności Przemysław: a+b+c=1 a,b,c>0 Udowodnić: (ab)^1/n+(bc)^1/n+(ca)^1/n≤(3ⁿ⁻²)^1/n kojarzy mi się z nierównością Jensena dla f(x)=(x)^1/n bo jest to funkcja wklęsła. (ab)^1/n+(bc)^1/n+(ca)^1/n≤(ab+bc+ca)^1/n co by wystarczyło, bo: (ab+bc+ca)^1/n≤3^1/n i dla n>1 <−−− (czyli trzebaby potem jeszcze rozważyć n=1, co też mi się nie udaje) 3^1/n≤(3ⁿ⁻²)^1/n No i prawa strona nierówności pasuje mi do Jensena, ale lewej nie umiem do tego doprowadzić. Proszę o pomoc

Przemysław: Pomożecie?

Vax: Jasne. Tezę łatwo przekształcamy do:

(ab)1/n+(bc)1/n+(ca)1/n		1		a+b+c
	≤ (		)2/n = (		)2/n
3		3		3

Ale f(x) = x^1/n jest wypukła dla x > 0 i n naturalnego, skąd z nierówności Jensena:

	1		1		1		ab+bc+ca		ab+ac+bc
L =		f(ab)+		f(bc)+		f(ca) ≤ f(		) = (		)1/n
	3		3		3		3		3

Skąd tezę łatwo przekształcamy do (a+b+c)² ≥ 3(ab+ac+bc) co jest już znane i łatwe.

Vax: f(x) jest wklęsła* oczywiście

ZKS: Nie jestem pewny tego rozwiązania ze średnimi, ale coś mam (ab)^1/_n + (bc)^1/_n + (ac)^1/_n ≤ (3^{n − 2})^1/_n (ab)^1/_n + (bc)^1/_n + (ac)^1/_n ≤ 3 * 3^−2/_n

(ab)1/n + (bc)1/n + (ac)1/n		1
	≤ (		)2/n
3		3

średnia arytmetyczna ≤ średnia potęgowa stopnia ^n/₂

(ab)1/n + (bc)1/n + (ac)1/n		√ab + √bc + √ac
	≤ (		)2/n
3		3

średnia arytmetyczna ≥ średnia geometryczna

a + b
	≥ √ab
2

b + c
	≥ √bc
2

a + c
	≥ √ac
2

1 ≥ √ab + √bc + √ac

1		√ab + √bc + √ac
	≥
3		3

	1		√ab + √bc + √ac
(		)2/n ≥ (		)2/n ≥
	3		3

(ab)1/n + (bc)1/n + (ac)1/n
	.
3

Vax jak będziesz to możesz zerknąć na te rozwiązanie.

Przemysław: Dziękuję pięknie za oba rozwiązania

ZKS: Mam nadzieję, że w miarę jasno napisałem co z czego. Z mojej strony nie ma sprawy, ale trochę musiałem pomyśleć co trzeba wykorzystać do tej nierówności.

Vax: Jest ok

ZKS: Jest chyba Vax to może sprawdzi te rozwiązanie, jeżeli jest źle to ja się poddaję.

ZKS: Okej dziękować bardzo Vax za potwierdzenie. Nigdy nie miałem styczności z takimi nierównościami, aż się dziwię, że coś tam mi wychodziło. Jeżeli można spytać to Ty Vax w tym roku ruszasz na uczelnię uczyć profesorów?

Vax: Tak, od października zaczynam studiować informatykę i matematykę na UW A co do uczenia to wiem, że jest tam sporo studentów zdecydowanie lepszych ode mnie, więc jeszcze sporo nauki przede mną

ZKS: Na prawdę ciężko mi uwierzyć, że są " zdecydowanie " lepsi od Ciebie. W takim razie życzę sukcesów na uczelni i poza nią.