Nierówności Przemysław: Udowodnić:

a1		an		nS
	+...+		≥
1−a1		1−an		n−S

założenia: n∊|N₊ 0<a_i<1 i=1,2,3,... S=a₁+...a_n Nie dałem rady, proszę o pomoc

Vax:

	x
f(x) =		jest wypukła na przedziale (0;1) i teza wynika z nierówności Jensena.
	1−x

Przemysław: Mógłbyś mi napisać, jak prawą stronę sprowadzić do funkcji z sumy a_i. I w tej nierówności są takie wagi sumujące się do 1. Tutaj nie daję rady ich znaleźć

ZKS:

a1		an		nS
	+ ... +		≥
1 − a1		1 − an		n − S

a1		1
	=		− 1
1 − a1		1 − a1

1		1		nS
	− 1 + ... +		− 1 ≥
1 − a1		1 − an		n − S

1		1		nS
	+ ... +		− n ≥
1 − a1		1 − an		n − S

1		1		nS
	+ ... +		≥		+ n
1 − a1		1 − an		n − S

1		1		nS + n(n − S)
	+ ... +		≥
1 − a1		1 − an		n − S

1		1		n2
	+ ... +		≥
1 − a1		1 − an		n − S

1		n − S
	≤
1   1   + ... + 1 − a1   1 − an		n2

n		n − S
	≤
1   1   + ... + 1 − a1   1 − an		n

S = a₁ + ... + a_n S − n = a₁ − 1 + ... + a_n − 1 n − S = 1 − a₁ + ... + 1 − a_n Korzystając z nierówności między średnimi średnia harmoniczna ≤ średnia arytmetyczna. Vax jeżeli jesteś to zerknij na to.

Vax: @ZKS jest ok @Przemysław W takich przypadkach, gdzie mamy sumę n składników najczęściej bierzemy wagi po prostu wszędzie

	1
równe
	n

Niech L to lewa strona nierówności a P prawa, wówczas:

L		1		1		1		S		S
	=		f(a1) +		f(a2) + ... +		f(an) ≥ f(		) = ... =
n		n		n		n		n		n−S

Skąd teza.

Przemysław: Dziękuję bardzo za oba rozwiązania Chyba "znalazłem te wagi":

a1		an		nS
	+...		≥
1−a1		1−an		n−S

1		a1		an		S		1/n*S
	*(		+...		)≥		=
n		1−a1		1−an		n−S		1−1/n*S

	x
f(x)=
	1−x

1		1
	∑f(ai)≥ f( ∑		ai)
n		n

sumy indeksowane od i=1 do n Jeżeli ktoś będzie mógł to proszę o potwierdzenie, jeżeli to tak ma być

ZKS: Niestety ja Jensena na oczy widziałem ze trzy razy, więc się nie wypowiem. Dziękować Vax za potwierdzenie rozwiązania.

Przemysław: Jeżeli byście jeszcze mogli: n − naturalne

	1		1
(1+		)n<(1+		)n+1
	n		n+1

Przemysław: W każdym razie jeszcze raz dziękuję bardzo

ZKS: Coś mi ta nierówność pachnie nierównością Bernoulliego.

	1		1
(1 +		)n < (1 +		)n + 1
	n		n + 1

	1		1		1
(1 +		)n + 1 = (1 +		)n * (1 +		)
	n + 1		n + 1		n + 1

1		1   1 +   n + 1
	< (		)n
1   1 +   n + 1		1   1 +   n

n + 1		n(n + 2)
	< [		]n
n + 2		n(n + 2) + 1

	1		1
(1 +		)−1/n > 1 +
	n + 2		n(n + 2)

Zachodzi (1 + x)^α ≥ 1 + αx, gdzie

	1
x =
	n + 2

	1
α = −		,
	n

	1		1
tylko niestety coś mi się psuje przez α = −		gdyby było α =		to wszystko
	n		n

pasuje. Jutro jeszcze coś pomyślę nad tą nierównością.

ZKS: Dobra widzę, gdzie mam błąd.

n + 1		n(n + 2)
	< [		]n
n + 2		n(n + 2) + 1

	1		n(n + 2)
1 −		< [		]n
	n + 2		n(n + 2) + 1

	1		1
(1 −		)−1/n > 1 +
	n + 2		n(n + 2)

Teraz zachodzi nierówność Bernoulliego (1 + x)^α ≥ 1 + αx, gdzie

	1
x = −
	n + 2

	1
α = −		,
	n

u nas równość nie zachodzi, ponieważ x ≠ 0.

Przemysław: Dziękuję!

Przemysław: Ale chwilę Tam w nierówności Bernouliego jest coś w stylu: 0<α<1 to (1+x)^α≤1+αx α>1 to (1+x)^α≥1+αx

	1
a tutaj mamy α=−		czyli mniej niż 0, bo n jest naturalne
	n

Ale może jakoś tak dalej:

1		1
	<
1   (1− )1/n   n+2		1   1+   n(n+2)

1		1
	<
1   (1+ )1/n   n+2		1   (1− )1/n   n+2

1		1
	<
1   (1+ )1/n   n+2		1   1+   n(n+2)

	1
Tylko, że 0<		<1
	n

czyli zachodzi: (1+x)^α≤1+αx

	1
x=
	n+2

	1
α=
	n

	1		1
(1+		)1/n≤1+
	n+2		n(n+2)

czyli

1		1
	>
1   (1+ )1/n   n+2		1   1+   n(n+2)

a to by znaczyło, że ta nierówność jest nieprawdziwa, więc gdzie mam błąd?

ZKS: Tak jasne późna pora była, pomyśle jeszcze za chwile nad tą nierównością.

Przemysław: Ale mimo to, Twoje rozwiązanie pomogło mi zrobić pozostałe 4 przykłady, więc i tak pomogło

ZKS: Tylko, że tego nie mogę pomóc rozwiązać, więc co to za pomoc. Zjem obiad i dalej popróbuje, a jak nic mi się nie uda wymyślić to odpocznę i wieczorem pomyślę.

Przemysław: Dobra, chyba mam: od momentu:

	1		n(n+2)
1−		<[		]n
	n+2		n(n+2)+1

	1		n(n+2)
(1−		)1/n<
	n+2		n(n+2)+1

z Bernoulliego:

	1		1		n(n+2)−1
(1−		)1/n<1−		=
	n+2		n(n+2)		n(n+2)

teraz wystarczy by:

n(n+2)−1		n(n+2)
	<
n(n+2)		n(n+2)+1

[n(n+2)]²−1<[n(n+2)]² −1<0

ZKS: Dobra chyba mam.

n + 1		n(n + 2)
	< [		]n
n + 2		n(n + 2) + 1

	1		1
1 −		< [1 −		]n
	n + 2		n(n + 2) + 1

	1		1		1
(1 −		)1/n < 1 −		< 1 −
	n + 2		n(n + 2)		n(n + 2) + 1

Zachodzi zatem nierówność Bernoulliego (1 + x)^α ≤ 1 + αx, gdzie

	1
x = −
	n + 2

	1		1
α =		∧ 0 <		< 1.
	n		n

ZKS: Musiałem, aż wziąć kartkę i zrobić na spokojnie. Jak człowiek najedzony to inaczej myśli.

Przemysław: A to moje jest dobrze, czy coś namieszałem?

ZKS: To samo mamy tylko, że Ty dodatkowo udowadniasz, że dla n > 0 zachodzi ta nierówność, ale raczej to oczywiste i nawet nie trzeba było tego udowadniać.

	1		1
1 −		< 1 −		, ponieważ
	n(n + 2)		n(n + 2) + 1

1		1
	>
n(n + 2)		n(n + 2) + 1

n(n + 2) < n(n + 2) + 1.

Przemysław: OK, dziękuję