Nierówność Przemysław: a²+b²+ab−3a−3b+3≥0 nie dałem rady, proszę o pomoc

Saizou : ale że co z nią ?

Przemysław: Udowodnić. Niby wiem, że trzeba to do kwadratów pozwijać, ale coś mi się to nie udaje

Saizou : dla dowolnego a,b ?

Przemysław: Przepraszam, a,b>0 a,b∊|R

Saizou : teoretycznie możesz pobawić się krzywymi stożkowymi xd

Metis: Dlaczego od razu nie sformułujesz pełnego polecenia

Przemysław: @Metis Bo jestem omylny. Zapomniałem o tym Pełne polecenie wspomina jeszcze o uzupełnianiu wyrażeń do kwadratu @Saizou możesz napisać, jak to robić? Nawet niekoniecznie w tym przypadku. Tak żeby na przyszłość wiedzieć.

PW:

1		1		1
	(a+b)2 =		a2 + ab +		b2
2		2		2

1		1		9
	(a−3)2 =		a2 − 3a +
2		2		2

1		1		9
	(b−3)2 =		b2 − 3b +
2		2		2

Po dodaniu stronami dostajemy

	1		1		1
a2+b2+ab−3a−3b + 9 =		(a+b)2 +		(a−3)2 +		(b−3)2
	2		2		2

a więc

	1		1		1
a2+b2+ab−3a−3b+3 =		(a+b)2 +		(a−3)2 +		(b−3)2 − 6,
	2		2		2

czy masz pomysł jak pokazać, że prawa strona jest nieujemna?

Przemysław: @Metis Sprostowanie − tego o uzupełnianiu do kwadratu w sumie nie pisałem nie dlatego, że zapomniałem, tylko jakoś uznałem że nie trzeba tego o tym, że a,b>0, a,b∊|R i tego, że udowodnić nie napisałem, bo zapomniałem @PW Szczerze mówiąc, to nie mam

Saizou : Przemysław jednak krzywe stożkowe odpadają

Przemysław: A tak swoją drogą, to mógłbyś na jakimś prostym przykładzie pokazać jak się ich używa, w przypadkach gdy to działa? Jeżeli masz czas i chęci oczywiście

Saizou : może jutro, znaczy się taki miałem pomysł, ale czy to działa to inna para kaloszy w sensie przedstawić to w postaci kanonicznej

Przemysław: Hmm. Oki To w dowolnym czasie, napisz w tym temacie, a ja sobie przeczytam

Saizou : najpierw sprawdzę czy to działa xd

Przemysław: Ok, ok, spoko

ZKS: Przy wykorzystaniu postaci kanonicznej funkcji kwadratowej a² + b² + ab − 3a − 3b + 3 ≥ 0 a² + (b − 3)a + b² − 3b + 3 ≥ 0 Δ_b = (b − 3)² − 4(b² − 3b + 3) = −3b² + 6b − 3 = −3(b − 1)².

	−3(b − 1)2		3
Rzędna wierzchołka zatem wynosi −		=		(b − 1)2, natomiast
	4		4

	b − 3
odcięta wynosi −		. Zapisując w postaci kanonicznej otrzymujemy
	2

	b − 3		3
(a −		)2 +		(b − 1)2 ≥ 0.
	2		4

ZKS: Oczywiście tam winno być Δ_a, a nie jak napisałem Δ_b.

Przemysław: Dziękuję bardzo!

ZKS: Nie raz te najprostsze rozwiązania są najlepsze.

Przemysław:

ZKS: Udowodnij nierówność dla nieujemnych liczb a ; b ; c

a + b + c
	≥ 3√abc.
3

Taką nierówność sobie rozwiąż na dobranoc.

Joe Black: "Średnia" ta nierówność

ZKS: Joe Black jak Przemysław się zgodzi to Twoja jest ta nierówność.

Joe Black: Znam tę nierówność

Joe Black: Ale z udowodnieniem to ja nie mam szans

pigor: ..., ... o kurde no jasne, no to może bez delty tak : a²+b²+ab−3a−3b+3= a²+(b−3)a+b²−3b+3= = a²+2a*¹₂(b−3)+¹₄(b−3)² +b²−3b+3− ¹₄(b−3)²= = (a+¹₂(b−3))² + ¹₄(4b²−12b+12−b²+6b−9)= = ¹₄ (2a+b−3)² + 3b²−6b+3= ¹₄ (2a+b−3)²+3(b−1)² ≥0 c.n.w. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− przy czym równość będzie miała miejsce, gdy a=b=1 . ...

pigor: ... o , a w międzyczasie ... tyle rzeczy się działo ...

ZKS: Eee teraz to łatwo hehe.

Eta: a²+b²+ab−3a−3b+3≥0 /*4 4a²+4b²+4ab−12a−12b+12≥0 (2a+b−3)(2a+b−3)+3b²−6b+3≥0 (2a+b−3)²+3(b−1)²≥0 równość zachodzi gdy a=b=1 c.n.w

Przemysław: Dziękuję Wam za rozwiązanka Co do nierówności tej od ZKS, to niby znam i używam. Ale oprócz tego http://www.matematyka.pl/196070.htm to dowieść nie umiem wiem, że jeżeli dowolne z a,b,c równa się zero, to

a+b+c
	≥0, czyli już z założenia
3

więc można założyć: a,b,c>0 Ale ostatecznie i tak nie daję rady...

ZKS: Podstaw sobie a = x³ ; b = y³ ; c = z³ i spróbuj.

Eta: dla a,b,c >0 nierówność między średnimi am−gm

a+b+c
	≥3√a*b*c
3

c.n.w

ZKS: Należy udowodnić to właśnie, że coś takiego zachodzi powołanie się na średnie nic nie da.

ZKS: Eta, a jak tam było nad morze opaliłaś się i zebrałaś trochę bursztynów, wypoczełaś trochę chociaż?

Przemysław: Niby próbowałem wcześniej: x=³√a... czyli w sumie to samo, ale jakoś niewiele z tego wyciągnąłem

Przemysław: Może geometrycznie? https://www.geogebra.org/m/8018

Przemysław: Zawsze można tak, jak w tym temacie na matematyka.pl, zlogarytmować obie strony i powiedzieć, że to z nierówności Jensena wynika.

ZKS: Jak podstawisz masz do udowodnienia nierówność

x3 + y3 + z3
	≥ xyz
3

x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz teraz nietrywialna tożsamość x³ + y³ + z³ = (x +y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx) + 3xyz. Dokończyć to chyba nie problem. Dla Ciebie zadanie następne wyprowadź tą tożsamość.

ZKS: Geometryczny sposób mi się podoba.

Przemysław: Mam taki pomysł: jak mam to podstawienie: a=x³...

x3+y3+z3
	≥xyz
3

x³+y³+z³≥3xyz ta nierówność byłaby fałszywa tylko gdyby wszystkie naraz zachodziły: x³<xyz y³<xyz z³<xyz skoro tak to: x³*y³*z³<xyz*xyz*xyz=x³*y³*z³ 1<1 sprzeczność czy tak?

ZKS: Coś do mnie nie przemawia ten dowód.

Przemysław: Chyba raczej nie, bo to tylko w jedną stronę jest wynikanie?

Przemysław: Przykładowo, może być: x³=0

	3
y3=		xyz
	2

z³=xyz i to co pisałem się nie zgadza

ZKS: Jak chcesz to z Jensena sobie zrób, tak jak tam piszą dalej Jensenik.

Przemysław: Męczyłem się z tą tożsamością, ale nie wymęczyłem A dokończenie nierówności, to jakoś tak? (x² + y² + z² − xy − yz − zx)≥0

x

y

x

z

y

z

(

−

)2+(

−

)2+(

−

)2≥0

√2

√2

√2

√2

√2

√2

Przemysław: Tzn. podejrzewam, że trzeba: (x+y+z)³=... (niby już to miałem wyliczone) x³+y³+z³=(x+y+z)³−3x²y−3x²z−3xy²−6xyz−3xz²−3y²z−3yz² znaleźć tam gdzieś czynnik (x+y+z) i go wyciągnąć, użyć (x+y+z)², poskracać i może wyjdzie. Ale problem ze znalezieniem tego czynnika

ZKS: Tak wystarczy pokazać tylko nieujemność tego wyrażenia, bo reszta jako, że liczby x ; y ; z są nieujemne to x + y + z ≥ 0 Ładniej to wygląda tak

1		1		1
	(x − y)2 +		(y − z)2 +		(x − z)2 ≥ 0,
2		2		2

ale to jak kto już woli.

ZKS: Czegoś Ci nie przypominają takie liczby x + y + z ; xy + yz + xz ; xyz?

Przemysław: Niebardzo

Przemysław: Tzn takie składniki pojawiają się jak się podnosi (x+y+z) do potęgi 2. czy tam 3.

ZKS: A takie liczby x₁ + x₂ + x₃ ; x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ ; x₁x₂x₃?

Przemysław: Nie

ZKS: Wzory Viete'a?

Przemysław: Było kiedyś coś takiego

ZKS: To możesz zbudować wielomian trzeciego stopnia o pierwiastkach x ; y ; z.

Przemysław: Jakoś tak? Nazwę dawny x jako v, a=1 x³+bx²+cx+d=W(x) v+y+z=−b vy+vz+yz=c vyz=−d W(x)=x³−(v+y+z)x²+(vy+vz+yz)x−vyz Tylko co dalej. Czy może: W(x)=(x−v)(x−y)(x−z) Może już na dzisiaj dajmy spokój − przynajmniej ja dam Bo jutro może być słabo

Przemysław: Dobra, pomyślę jak z tym wielomianem później, bo to co zrobiłem to nic nie da raczej

ZKS: Dobrze myślałeś W(x) = x³ − (v + y + z)x² + (vy + vz + yz)x − vyz W(v) = 0 = v³ − (v + y + z)v² + (vy + vz + yz)v − vyz W(y) = 0 = y³ − (v + y + z)y² + (vy + vz + yz)y − vyz W(z) = 0 = z³ − (v + y + z)z² + (vy + vz + yz)z − vyz Teraz to zsumuj do siebie i coś powinieneś otrzymać.

Przemysław: z³+y³+z³=(v+y+z)(v²+y²+z²−vy−vz−yz)+3vyz faktycznie, dziękuję

ZKS: Nie ma za co, proszę bardzo.

Przemysław: Dobranoc!

ZKS: Dobrej nocy.