Zadanko z olimpiady anaisy: Czy istnieje ciąg (a_n) liczb całkowitych dodatnich, spełniający a_n+2=a_n+1+√a_n+1+a_n dla każdego n całkowitego dodatniego

poprawkowicz: musisz sprawdzić ciąg liczb a_n+2 >0 żeby to sprawdzić musisz najpierw obliczyć a_n+3, a następnie odjąć a_n+3 −a_n+2 >0

PW: Co Ty, poprawkowicz, opowiadasz. Piszą, że to zadanie z olimpiady. Gdzie rozważasz warunek, że wyrazy ciągu mają być całkowite?

Vax: Dla danych dwóch pierwszych wyrazów dany ciąg jest zdefiniowany jednoznacznie, pytamy się więc czy istnieją takie całkowite dodatnie a₁, a₂ żeby wszystkie wyrazy ciągu były całkowite dodatnie. Pokażemy, że takiego ciągu nie ma. Załóżmy nie wprost że istnieje. Wówczas dla dowolnego n mamy: a_n+2 = a_n+1 + √a_n+1+a_n a_n+1 = a_n + √a_n+a_n−1 Dodając te równości stronami dostaję: a_n+2 = a_n + √a_n+1+a_n + √a_n+a_n−1 ⇔

	an+1−an−1
an+2−an =
	√an+1+an−√an+an−1

Z definicji ciągu wynika, że jest on rosnący, oraz dla każdego n wyrażenie √a_n+1+a_n jest całkowite dodatnie. Stąd otrzymujemy, że √a_n+1+a_n−√a_n+a_n−1 ≥ 1, to zaś oznacza, że: a_n+2−a_n ≤ a_n+1−a_n−1 ⇔ a_n+2 − a_n+1 ≤ a_n − a_n−1 Czyli .... ≤ a₈−a₇ ≤ a₆−a₅ ≤ a₄−a₃ ≤ a₂−a₁ To zaś oznacza, że od pewnego miejsca ciąg a_2n − a_2n−1 jest stały. (nie może być a_2t−a_2t−1 < a_2t−2−a_2t−3 dla dowolnie wielu ,,t", gdyż ciąg a_n+1−a_n jest ograniczony z dołu przez 1) Stąd od pewnego miejsca mamy a_2n+2 = r + a_2n, gdzie r ≠ 0. Ale znowu, skoro:

	a2n+1−a2n−1
a2n+2−a2n =
	√a2n+1+a2n−√a2n+a2n−1

= U{a_2n−a_2n−2}{(√a_2n+1+a_2n−√a_2n+a_2n−1) * (√a_2n+a_2n−1−√a_2n−1+a_2n−2)} To:

	2r
2r =
	(√a2n+1+a2n−√a2n+a2n−1) * (√a2n+a2n−1−√a2n−1+a2n−2)

⇔ (√a_2n+1+a_2n−√a_2n+a_2n−1) * (√a_2n+a_2n−1−√a_2n−1+a_2n−2) = 1 ⇒ √a_2n+1+a_2n − √a_2n+a_2n−1 = 1 ⇔ √2a_2n+t − √2a_2n−t = 1/² ⇔ 4a_2n−2√4a_2n²−t² = 1 sprzeczność, gdyż po lewej mamy liczbę parzystą a po prawej nieparzystą (√4a_2n²−t² jako iloczyn dwóch liczb całkowitych jest całkowite) Może się nigdzie nie walnąłem

AC: Wykazałeś, że a_n+2 − a_n+1 ≤ a_n+1 − a_n ⇔ √a_n+1 + a_n ≤ √a_n + a_n−1 ⇔ ⇔ √a_n+1 + a_n − √a_n + a_n−1 ≤ 0 i tu już jest sprzeczność, bo sam pokazałeś, że to wyrażenie jest ≥ 1

Vax: Nie wykazałem a_n+2−a_n+1 ≤ a_n+1−a_n tylko a_n+2−a_n+1 ≤ a_n−a_n−1, ale to nie zmienia faktu, że istotnie w tym miejscu łatwo już dostać sprzeczność wynikającą z tego, że ciąg a_n jest rosnący Nie zauważyłem tego i trochę dłuższe rozwiązanie mi wyszło, dzięki za zwrócenie uwagi

anaisy: dziękuję za odpowiedź Vax