Równanie diofantyczne Przemysław: Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie x² + x + 41 = y² przeniosłem y² na lewą stronę, Δ≥0

	163		√163		√163
wychodzi, że y2≥		, czyli: y≥		lub y≤−
	4		4		4

ponieważ y ma być całkowite, to: y²>40, y>3 lub y<−3 <−−−−bo 163/4>40, a √163>12

	−1+√−163+4y2
x1=
	2

	−1−√−163+4y2
x2=
	2

czyli √−163+4y²=2k+1, k∊ℤ y²=k²+k+41 z tego i z y²>40, uzyskujemy niewiele... k dalej może być dowolną liczbą całkowitą, bo dla całkowitych |k²|>|k|, więc y²>40 i tak będzie zachowane Dalej nie mam pomysłu, proszę o pomoc

Mila: x*(x+1)+41=y² x=40 40*41+41=41*(40+1)=41² y²=41² y=41 lub −41 x=−41 (−41)*(−40)+41=41*40+41=41*(40+41)=41² y²=41 lub y=−41

Godzio: Proponowałbym coś takiego:

	1		3
x2 + x + 41 = y2 ⇒ (x +		)2 + 40		= y2 / * 4
	2		4

(2x + 1)² + 163 = 4y² ⇒ 163 = 4y² − (2x + 1)² ⇒ 163 = (2y − 2x − 1)(2y + 2x + 1) Liczba 163 jest liczbą pierwszą więc 2y − 2x − 1 = 1 2y + 2x + 1 = 163 lub 2y − 2x − 1 = 163 2y + 2x + 1 = 1 lub 2y − 2x − 1 = −1 2y + 2x + 1 = −163 lub 2y − 2x − 1 = −163 2y + 2x + 1 = −1

Bogdan: Moja propozycja:

	1		163
x2 + x + 41 = y2 ⇒ y2 − x2 − x −		=
	4		4

	1		163
y2 − (x +		)2 =
	2		4

	1		1		1		163
(y − x −		)(y + x +		) =		*
	2		2		2		2

lub

	1		1		163		1
(y − x −		)(y + x +		) =		*
	2		2		2		2

	1		1		1		163
y − x −		=		i y + x +		=		⇒ x = 40 i y = 41
	2		2		2		2

lub

	1		163		1		1
y − x −		=		i y + x +		=		⇒ x = −41 i y = 41
	2		2		2		2

Mila: Kiedyś na kółku w GM to było i tak to wykorzystałam. Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych, powiększony o większą z tych liczb, jest równy kwadratowi liczby większej, a pomniejszony o liczbę mniejszą, jest równy kwadratowi liczby mniejszej. n*(n+1)+(n+1)=(n+1)² n*(n+1)−n=n² Lepszy sposób Godzia.

Przemysław: Dziękuję bardzo za oba rozwiązania

Przemysław: Widzę, że teraz jest więcej Również dziękuję bardzo