nierówność bartek: x,y>0 ,x+y>2. Jak pokazać ze x²+y²−xy>1

Przemysław: Wychodzę od nierówności między średnimi:

x+y
	≥√xy
2

równość jest tylko wtedy gdy x=y mamy przypadki: x=y, x≠y dla x=y można bezpośrednio sprawdzić, że: y²+y²−y²>1 y²>1 <−−− to wiadomo z tego, że 2y>2⇔y>1 czyli zostaje przypadek gdy x≠y, wtedy:

x+y
	>√xy
2

(x+y)²>4xy <−−−− podniosłem obie strony do kwadratu, obie były dodatnie (1) x²+y²>2xy teraz mam: x+y>2 x²+2xy+y²>4 i z (1): 2(x²+y²)>x²+2xy+y²>4 więc: 2(x²+y²)>4 (2) x²+y²>2 rozważmy układ równań:

⎧	xy>1
⎨
⎩	x+y>2

x>2−y xy<1 y(2−y)<xy<1 −y²+2y<1 −y²+2y−1<0 y²−2y+1>0 (y−1)²>0 co jest prawdą dla każdego y∊|R (3) xy<1 skoro tak, to z (3) i (2) x²+y²−xy>x²+y²−1>2−1=1 czyli x²+y²−xy>1 mam nadzieję, że się nie pomyliłem

PW: Nie sprawdzałem rozwiązania Przemysława, ale zaproponuję łatwiejsze rachunki. Niech y = x+a, wówczas założenie x+y > 2 oznacza 2x + a > 2, zatem

	a
(1) x +		> 1.
	2

Policzmy: x² + y² − xy = x² + (x+a)² − x(x+a) = x² + x² + 2ax + a² − x² − ax =

	a		3		3
x2 + ax + a2 = (x+		)2 +		a2 > 12 +		a2 > 1,
	2		4		4

co należało wykazać.

	3
Ostatnie dwie nierówności wynikają z założenia (1) i faktu, że		a2 ≥ 0.
	4

ZKS:

	x + y
x ; y > 0 ∧ x + y > 2 ⇒		> 1
	2

Średnia kwadratowa ≥ średnia geometryczna

√x2 + y2		x2 + y2
	≥ √xy ⇒		≥ xy.
√2		2

Średnia kwadratowa ≥ średnia arytmetyczna

√x2 + y2		x + y		x2 + y2		(x + y)2
	≥		> 1 ⇒		≥		> 1.
√2		2		2		4

	x2 + y2		x2 + y2		(x + y)2
x2 + y2 − xy ≥ x2 + y2 −		=		≥		> 1
	2		2		4