F F599:

	3
Funkcja f określona jest wzorem f(x)=		gdzie x∊R
	x2+1

Podaj przedział liczbowy, w którym funkcja f jest malejąca

ZKS:

	x2 + 1
Na początku będziemy rozpatrywać funkcję g(x) =		, wtedy xw = 0 oraz współczynnik
	3

przy najwyższej potędze jest dodatni, zatem funkcja maleje dla x ∊ (−∞ ; 0] natomiast

	1
rośnie dla x ∊ [0 ; ∞). Teraz wracając do wyjściowej funkcji widzimy, że f(x) =		,
	g(x)

czyli jest to odwrotność funkcji g(x), więc tutaj funkcja rośnie dla x ∊ (−∞ ; 0] i maleje dla x ∊ [0 ; ∞).

Janek191:

F599: ZKS dziękuję ogromnie

Michcio: Da się to jakoś inaczej zrobić ? Bo ja np. nie miałem odwrotności funkcji i zależności między monotonicznością funkcji f(x) a

	1
		a zadanie jest z pierwszego Pazdry
	f(x)

Godzio: Teraz w programie jest pochodna, więc może tą drogą?

Michcio: Kurde nie miałem jeszcze tego

Godzio: To zadanie na 2 linijki jeśli to się już umie A jeśli nie to trzeba się męczyć sposobem ZKS

Michcio: A pokaż ten sposób na 2 linijki

Godzio:

	−6x
f'(x) =
	(x2 + 1)2

Funkcja maleje gdy f'(x) < 0 ⇔ −6x < 0 ⇔ x > 0 koniec

ZKS: Zapomniałem rzeczywiście, że teraz są już pochodne w programie.

	3
f(x) =
	x2 + 1

	6x
f'(x) = −		, jeżeli f'(x) < 0 to funkcja jest malejąca dla tych argumentów.
	(x2 + 1)2

	6x
−		< 0 ⇒ x > 0.
	(x2 + 1)2

Funkcja maleje dla x ∊ (0 ; ∞).

john2: Może ktoś wyjaśnić, jak to jest z tymi odwrotnościami? Bo ja myślałem, że funkcją odwrotną do

	3
y =
	x2 + 1

jest... y(x² + 1) = 3

	3
x2 + 1 =
	y

	3
x2 =		− 1
	y

x = √ (3 / y) − 1 a nie...

	1		x2 + 1
g(x) =		=
	3   x2 + 1		3

J: nie myl pojęcia "funkcji odwrotnej" z "odwrotnością funkcji"

J: np.: funkcją odwrotną do y = x³ jest funkcja y = ³√x ,

	1
ale jej odwrotnością jest y =
	x3

john2: Aha. Dzięki.

Michcio: @J: Jaki jest wzór na funkcję odwrotną

	1
(Odwrotność funkcji to		) a funkcja odwrotna ?
	f(x)

Da się to wyznaczyć jakoś dla każdej funkcji

Kacper: Nie każda funkcja posiada funkcję odwrotną do siebie.

Michcio: A jakiś przykład ?

john2: Ja to rozumiem w ten sposób, że po prostu wyznaczasz x ze wzoru funkcji i np. mając y = x³ /³√ ³√y = ³√x^{3 3}√y = x i zamieniasz teraz literki ³√x = y Warunek jest taki, żeby funkcja była różnowartościowa (y = x³ taka jest). Jeśli funkcja nie jest różnowartościowa, można wyznaczyć (chyba dla każdej funkcji) funkcję odwrotną, ale tylko w przedziale, w którym jest różnowartościowa.

	π		π
np. funkcją odwrotną do funkcji y = sinx w przedziale −		≤ x ≤
	2		2

jest y = arcsinx Można zauważyć, że dziedziną arcsinx jest zbiór wartości sinx w tym przedziale.

J: Aby funkcja była odwracalna, musi być funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją) , czyli musi być jednocześnie różnowartościowa (iniekcja) oraz musi być odwzorowaniem zbioru X "na" zbiór Y (surjekcja)