Wyrazenie 5-latek: Jeśli mam takie wyrażenie (x−1)^1/2 to mogę zapisac je tak (x−1)^1/2= √x−1=⁴√(x−1)² = ⁶√(x−1)³= ⁸√(x−1)⁴ i tak dalej Jeśli mam takie wyrażenie (x−1)^1/4 = ⁴√(x−1) = √√(x−1) czy taki będzie zapis jeśli ⁴√(x−1) będę chciał wyrazić za pomocą pierwiastka drugiego stopnia ?

ZKS: Niestety nie możesz tak zapisać (tam gdzie masz parzyste potęgi) bez żadnych założeń. Jedynie możesz zapisać tak (⁴√x − 1)².

ZKS: Wyrażenia √x − 1 = ⁶√(x − 1)³ te są równoważne, ponieważ dziedziny są te same, ale √x − 1 = ⁴√(x − 1)² już nie.

5-latek: ZKS Chodzi mi tylko i wyłącznie o sam zapis .

henrys: cześć a mi się wydaje 5−latku, że spokojnie możesz tak zapisać

5-latek: czesc Tak ten zapis mogl wprowadzić w blad bo ja zamiast zapisac tak np. √5= ⁴√5² i tak dalej spojrzałem na równanie i przepisałem (nie wiem czemu No i teraz mam ⁴√20 = √√20 ( a idzie to jeszcze inaczej zapisac żeby był pierwiastek stopnia drugiego ? czyli ⁴√20 = ile pierwiastek stopnia drugiego ?

henrys: √2√5

ZKS: henrys , a mi się wydaje, że nie może bo przykładowo √−4 nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych, natomiast ⁴√(−4)² już tak.

5-latek: Dobrze Wiem już o co chodzi ⁴√20= ⁴√4*5= √2*√5

ZKS: Napisałem, że jeżeli zrobi się odpowiednie założenie to wyrażenia będą równoważne. Na Twoim przykładzie √x − 1 założenie x ≥ 1 i teraz możemy zapisać ⁴√(x − 1)², ponieważ to wyrażenie już będziemy rozpatrywali tylko dla x ≥ 1.

john2: Przychylam się do tego, co pisze ZKS Ja również miałem podobne dylematy, np. √x * √x = √x² = |x| czy √x * √x = (√x)² = x Okazuje się, że wyniki w obu przypadkach są takie same, gdyż zgodnie z założeniem x ≥ 0 |x| = x

henrys: W sumie to i tak ciekawe To zależy od czego wychodzisz przekształcając wyrażenie, bo np. jeśli masz tak jak napisał 5−latek: √x−1, wtedy dziedziną jest x>1 i dla x należącego do tej dziedziny √x−1=⁴√(x−1)² równość jest prawdziwa. Jeśli przekształcamy wyrażenie ⁴√(x−1)², gdzie x∊R zapisując równość ⁴√(x−1)²=√x−1 zawężamy dziedzinę

henrys: Nie rozumiem w takim razie john2 twojego stanowiska

5-latek: Mam takie równanie do rozwiązania (x−1)^1/2+6(x−1)^1/4=16 Teraz żeby nie robic podstawienia (x−1)^1/4= z i x−1>0 i x−1≠1(takie powinny być do tego zalozenia? i rozwiazywac to dalej bo latwiej chciałem sobie rozwiać inaczej a mianowicie √x−1+6⁴√x−1=16 zalozenia co do pierwiastkow x−1≥0 (bo stopnie parzyste I teraz albo √x−1 zapisac za pomocą pierwiastka stopnia czwartego i rozwiazywac dalej albo p{4{x−1} zapisac za pomocą pierwiastka stopnia drugiego i rozwiazywac dalej Dlatego zapytałem czy ⁴√x−1 mogę zapisac tak inaczej √√(x−1)

ZKS: henrys źle zapisałeś. Jeżeli wychodzimy od wyrażenia ⁴√(x − 1)² to wyrażeniem równoważnym jest √|x − 1| i żadnej dziedziny nie zwężamy. Tylko trzeba uważać, ponieważ jeżeli wychodzimy od wyrażenia (⁴√x − 1)² to wyrażeniem równoważnym jest √x − 1.

ZKS: 5−latek teraz już rozumiesz, czy jeszcze nie?

john2: Chodzi o to, jak rozstrzygnąć jaki jest wynik takiego działania √x * √x Robimy założenie x ≥ 0 i teraz albo 1) √x * √x = √x * x = √x² = |x| = x (bo x ≥ 0) albo 2) √x * √x = (√x)² = x (oczywiście dalej x ≥ 0) Należy jednak dodać, że wyrażenia (gdyby to były wyrażenia "wyjściowe") (√x)² i √x² nie są sobie równe dziedziną pierwszego jest x ≥ 0, a drugiego x ∊ R

ZKS: Według mnie oba zapisy są poprawne pod warunkiem założenia, ale jednak przychylał bym się do zapisu √x * √x = (√x)² = x dla x ≥ 0.

5-latek: Zaraz momento mam takie równanie (x−1)^1/2 +6(x−1)^1/4 = 16 zapisuje go sobie tak √x−1+6⁴√x−1=16 ( na razie zostawmy dziedzine na boku teraz chce to wyrażenie zapisac za pomocą pierwiastkow stopnia czwartego to wtedy mogę zapisac (⁴√x−1)²+6⁴√x−1=16? A jak bym zapisal ⁴√(x−1)²+6⁴√x−1=16 to wtedy √|x−1|+6⁴√x−1=16 i dalej mam dwa inne stopnie pierwiastkow

ZKS: Wyrażenie √x − 1 nie jest równoważne wyrażeniu ⁴√(x − 1)², natomiast √x − 1 = (⁴√x − 1)². Twój pierwszy zapis jest poprawny.

5-latek: Dobrze Teraz chce zapisac to równanie za pomocą pierwiastkow stopnia drugiego Wiec piszse √x−1+6√√x−1=16 i teraz 6√√x−1=16−√x−1 ² 36√x−1= 256−32√x−1+x−1 68√x−1= 257+x i dalej Bo moglem zrobić podstawienie √√x−1=t czy taki zapis jak na początku jest prawidłowy ?

ZKS: Możesz normalnie policzyć Δ bez robienia podstawienia. √x − 1 + 6⁴√x − 1 = 16 √x − 1 + 6⁴√x − 1 − 16 = 0 Δ = 9 + 16 √Δ = 5 ⁴√x − 1 = −3 + 5 ∨ ⁴√x − 1 = −3 − 5 (sprzeczne). Jeżeli chcesz rozwiązać podnosząc obustronnie to musisz robić założenia. 6⁴√x − 1 = 16 − √x − 1 / ² przy założeniu 16 − √x − 1 ≥ 0 Dalej rozwiązujesz jak rozwiązywałeś.

ZKS: Chyba, że robisz metodą analizy starożytnych, wtedy nie robisz żadnych założeń oraz nie ustalasz dziedziny tylko końcowy wynik sprawdzasz, czy L = P.

henrys: ZKS nie zapisałem √x−1⇒⁴√(x−1)² implikacja w drugą stronę nie zachodzi

henrys: Tam miało być ,,nie zapisałem źle"

5-latek: Dziekuje za wszystko Będę rozwiazywal te równania ta wlasnie metoda . Te rownania mam w książce trochę pokopane i będzie mi lepiej tak rozwiazywac

ZKS: " ... Jeśli przekształcamy wyrażenie ⁴√(x − 1)², gdzie x∊R zapisując równość ⁴√(x − 1)² = √x − 1 zawężamy dziedzinę. " Tutaj jest zły zapis, ponieważ powinieneś zapisać ⁴√(x − 1)² = √|x − 1| i nie zwężamy dziedzny.

henrys: 5−latku przepraszam za te spamy

ZKS: 5−latek, więc wszystko już jasne?

henrys: aj no tu masz racje ze tak jest dlatego napisalem ze ze to rownanie ⁴√(x−1)²=√x−1 nie jest prawdziwe

henrys: 5−latek jest zdolną bestią

ZKS: Taki spam to nie spam, bo i ktoś inny z tego może skorzystać nie rozmawiamy o pogodzie, żeby traktować to jako spam.

5-latek: Tak [ZKS]] jasne już henrys (tak zesmy nazywali chrześniaka mojego taty) . To wszystko było potrzebne do wyjaśnienia . Może nawet jeszcze ktoś inny z tego będzie miał użytek .