Rownanie nr 3 5-latek: Rozwiaz równanie :

	x−5		x−4		7		x+2
√		+√		=		*√
	x+2		x+3		x+2		x+3

Benny: Dziedzinę zapisz, a ja Ci pokaże jak to obliczyć.

	x−5		x−4		7		x+2
√		+√		=		*√		/*√(x+2)(x+3)
	x+2		x+3		x+2		x+3

√(x−5)(x+3)+√(x−4)(x+2)=7 √(x−5)(x+3)=7−√(x−4)(x+2) /()² Dokończysz?

5-latek: Za szybko wyslalem Wie robie go dalej Zalozenie:

x−5
	≥0 to x∊(−∞,−2)U<5,∞)
x+2

x−4
	≥0 to x∊(−∞ −3)U<4,∞)
x+3

x+2≠0 to x≠−2 (ale to zalozenie już mielismy

x+2
	≥0 to x∊(−∞,−3)U(−2,∞)
x+3

Wiec x∊(−∞.−3)∪<5,∞) Rozpiszse sobie to tak

√x−5		√x−4		7		√x+2
	+		=		*
√x+2		√x+3		x+2		√x+3

Mnoze obie strony przez √x+2*√x+3 i dostane

	7		√x+2
√x−5*√x+3+√x−4*√x+2=		*		*√x+2*√x+3
	x+2		√x+3

	7*(√x+2)2
√x−5*√x+3+√x−4*√x+2=
	x+2

√(x−5)(x+3)+√(x−4)(x+2)=7 √(x−5)(x+3= 7−√(x−4)(x+2) następne zalozenie (x−5)(x+3)≥0 to x∊∊(−∞.−3)U<5∞) (wylaczylem tutaj (−3) z rozwiązania bo wcześniej zalozylem ze x≠−3 (czy dobrze ? idalej zalozenie 7−√(x−4)(x+2)≤0 to √(x−4)(x+2)≤7 /² (x−4)(x+2)≤49 Z tego mi wyda dwa pierwiastki x₁= 1−√58≈(−6,62) x₂= 1+√58≈ 8,62 x∊<1−√58,1+√58> Z tych zalozen wychodzi x∊(<1−√58 , −3)U(<5, 1+√58> √(x−5)(x+3)=7−√(x−4)(x+2)² (x−5)(x+3)= 49−14√(x−4)(x+2)+(x−4)(x+2) (porzadkuje x²−2x−15= 49−14√(x−4)(x+2)+x²−2x−8 14√(x−4)(x+2)=56 ² i x∊(−∞−2)U <4,∞) 196(x−4)(x+2)= 3136 (x−4)(x+2)= 16 x²−2x−8=16 x²−2x−24=0 Δ= 4+96=100 √100=10 x₁= 12/2=6 jest rozwiązaniem x₂=−4 Teraz tak . Rozwiazalem te równanie metoda rownan rownowaznych . Wiec oba pierwiastki powinny spelniaxc to równanie bo x∊(−∞,−2) U<4,∞) Rozwiazania mi wyszly takie jak w odpowiedzi z tym ze autor odrzuca rozwiązanie x=−4 bo faktycznie dla x=−4 wychodzi 3,5√2= −3,5 √2 (falsz Wiec wychodzi na to ze nawet rozwiazujac metoda rownan rownowaznych można tez zlapac pierwiastki obce

5-latek: Benny tak długo liczyłem to równanie i nie widziałem Twojego wpisu

5-latek: [P[Benny może sprawdz jeszcze tam gdzie sa zalozenia czy dobre one sa

Benny: No właśnie x=−4 odpada, bo brakuje Ci założenia na początku do prawej strony. Po lewej stronie masz sumę pierwiastków, czyli liczbę nieujemną, więc po prawej też musisz mieć.

	7		x+2
Mamy		*√		≥0
	x+2		x+3

	7
albo oba czynniki są dodatnie albo oba ujemne. Oczywiście oba ujemne odpadają, więc
	x+2

musi być dodatnie a tak się stanie dzieję dla x>−2

Mila: Lewa strona równania jest nieujemna ⇒x+2>0⇒x+3>0 i x−5≥0 i x−4≥0⇔x≥5

5-latek: No tak . trochę to trudne do zrozumienia dla mnie już

Metis: Co do dziedziny to lepiej zapisać tak, by nie rozwiązywać wyrażeń wymiernych.

	x−5		√x−5
√		=
	x+2		√x+2

	x−4		√x−4
√		=
	x+3		√x+3

	x+2		√x+2
√		=
	x+3		√x+3

x−5≥0 ⋀ x−4≥0 ⋀x+2>0 ⋀x+3>0 x≥5 ⋀ x≥4⋀ x>−2 ⋀ x>−3 Zatem x≥5

5-latek: Oj Metis chyba nie można sobie tak napisac bo

√x−5
	wtedy masz x−5≥0 i x−2>0
√x+2

	x−5		x−5
a √		to		≥0 dla x≠−2
	x+2		x+2

Chociaz znowu mogę się mylic

5-latek: i znowu nie dokonczylem czyli dalej (x−5)(x+2)≥0 dla x∊(−∞ −2)U<5, ∞) sa inne dziedziny takich wyrazen

5-latek: Może lepiej sobie teraz wyjasnic takie wątpliwości niz potem na maturze się zastaniawiac . Wiec może ktoś teraz wyjasni ?

ZKS: Oczywiście, że wyrażenia nie są równoważne. Pokazałeś to przez inne dziedziny obydwu wyrażeń.

ZKS: Łatwo to pokazać na dowolnych liczbach,

	−2		√−2
(		)1/2 = 2 natomiast		nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.
	−1		√−1

ZKS: Oczywiście miało być " ... = √2 ... ".

5-latek: Witaj ZKS Tak wlasnie myslalem .

Mila: Metis przeczytaj dwa wpisy : 17:44 i 17:46. Popatrz na lewą stronę równania , a potem na prawą i staraj się zrozumieć problrm.

Metis:

	x−5		√x−5
√		≠
	x+2		√x+2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28x-5%29%2Fsqrt%28x%2B2%29%3Dsqrt%28%28x-5%29%2F%28x%2B2%29%29 Więc kiedy mogę zapisać, że

	a		√a
√		=
	b		√b

ZKS: Kiedy a ≥ 0 ∧ b > 0.

Metis: Jasne Nigdy się nad tym nie zastanawiałem, a wy oczywiście macie rację

ZKS: Witaj 5−latek.