granica xe^1/x john2: lim_x−>0⁺ x * e^{1 / x} Da się to zrobić, nie stosując reguły?

Mila: A dlaczego nie chcesz stosować reguły de l' Hospitala, skoro upraszcza problem?

john2: Jestem po prostu ciekaw, jak to zrobić bez reguły. A raczej się da, bo jest to zadanie w Krysickim i Włodarskim przed wprowadzeniem tej reguły. Wszystkie granice z tego rozdziału dało się bez reguły zrobić.

Mariusz: A jakie metody masz do dyspozycji ? Z trzech ciągów(funkcji) można korzystać Podstawień możesz używać ?

Mila: Może tak : x>0 x=(x^x)^1_x

john2: Mariusz jedyne ograniczenie to nie regułą de l'Hospitala. Mila Ciekawa sztuczka, wydaje się działać, dzięki.

john2: Chociaż chyba jednak nie, albo coś mylę: lim_x−>0⁺ (x^x)^{1 / x} * e^{1 / x} lim_x−>0⁺ (x^x * e)^{1 / x} i mam 0⁰

Mariusz: lim _x→0⁺xe^1/x t=e^1/x

	1
ln(t)=
	x

	1
x=
	ln(t)

	t
lim t→∞
	ln(t)

1<ln(t)<√t

1		ln(t)		√t
	<		<
t		t		t

1		ln(t)		1
	<		<
t		t		√t

	t
√t<		<t
	ln(t)

	t
lim t→∞		=∞
	ln(t)

Mariusz: Chyba złe szacowanie skrajne ciągi ograniczające logarytm nie są sobie równe Przy granicy w nieskończoności wystarczy szacowanie z jednej strony

john2: Aha. Dziękuję.

Mila:

	e1x
lim x→0+
	1   x

teraz podstawienie:

1
	=u
x

lim_x→0+(u)=∞ Może teraz będzie łatwiej?

	eu
limu→∞
	u

Mariusz: Gdyby dało się poprawnie ograniczyć ten logarytm (nierówności które podałem są prawdziwe ale nic nie wnoszą bo ciągi skrajne które ograniczają logarytm mają różne granice) Jeżeli nie chcemy korzystać z reguły de l'Hospitala to logarytmu można się pozbyć np szacując go i korzystając z trzech ciągów(funkcji) albo zrobić w argumencie logarytmu liczbę e po drodze korzystając z ciągłości Mila co dalej ?

	eu+1
Łatwo wykazać że limu→0{		}=1
	u

ale tutaj u→∞

Mariusz:

	eu−1
limu→0
	u

Chyba zrobiłem literówkę

henrys: mariusz u→∞

Mariusz: Wiem napisałem że przy u→0 byłoby łatwiej jeśli mamy takie ograniczenia (bez Hospitala) Napisałem wcześniej "ale tutaj u→∞"

Mariusz: poza tym gdyby u→0 to nie byłoby symbolu nieoznaczonego

kyskem: Można skorzystać z rozwinięcią funkcji eksponens w szereg i w koncu dostaniemy do policzenia granice: e⁽u−1) gdy u−−> ∞, co równe jest ∞.

kyskem: Lub można skorzystać z nierówności, że exp(x)>x² i nastepnie korzystajac z tw. od dwóch ciągach otzrymujemy bezposrednio, ze exp(x)/x gdy x−−> ∞ równa się ∞.