parametr Asmander: Wyznacz te wartości parametru m (m∊R) dla których równanie (x²−x−2)[x²+(m−3)x+1]=0 ma cztery różne rozwiązania.

Janek191: x² − x − 2 = ( x − 2)( x + 1) = 0 ⇔ x = − 1 lub x = 2 x² + ( m −3) x + 1 = 0 Δ = ( m −3)² − 4*1*1 = m² − 6 m + 9 − 4 = m² − 6 m + 5 > 0 Dokończ

Asmander: no i tak to robiłem Δ=36−20=16 √Δ=√16=4

	6+4
m1=		=5
	2

	6−4
m2=		=1
	2

−−−−−−−−− −−−−−−− −−−−−−−−1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−5−−−−−−> m∊(−∞,1) u (5,+∞)

Asmander: w odpowiedziach jest napisane

	1		1
m ∊ (−∞ ,		) u (		, 1 ) u (5 , +∞)
	2		2

i w czym tu sęk?

Janek191: Dlatego, że dla m = 0,5 wyjdzie x = 2 , czyli będą tylko 3 różne rozwiązania.

Asmander: a mam drugie zadanie podobne dla jakich wartości parametru p (p ∊ R) równanie (x−3)[x² − 2(2p+1)x +(p+2)²]=0 ma dwa różne rozwiązania x=3 x²−2(2p+1)x + (p+2)²=0 Δ=4(4p²+4p+1) −4((p²−4p+4) Δ=16p² +16p +4 − 4p² −16p −16 Δ=12p² −12 = 0 12p² =12 p²=1 p=1 v =−1 odpowiedź p∊{−1,7} dlatego, że dla x=3 wyjdzie 1 i 7 ?

ZKS: Trochę inaczej bym liczył to zadanie z równaniem (x − 3)[x² − 2(2p + 1)x + (p + 2)²] = 0. Niech f(x) = x² − 2(2p + 1)x + (p + 2)², wtedy rozbijamy na dwa przypadki 1^o Δ = 0 ∧ f(3) ≠ 0 2^o Δ > 0 ∧ f(3) = 0.

ZKS: Oczywiście warto zauważyć, że wyróżnik ładnie się składa do wzorów i nie trzeba nic wymnażać praktycznie Δ = [2(2p + 1)]² − 4(p + 2)² = [2(2p + 1)]² − [2(p + 2)]² = [2(2p + 1) + 2(p + 2)][2(2p + 1) − 2(p + 2)] = (6p + 6)(2p − 2) = 12(p + 1)(p − 1). Rozpisywałem tak, aby było widać co z czego.

Asmander: bardzo sprytne rozwiązanie 03:01 dziękuję wszystkim za pomoc drugi przypadek odpada bo f(3)=0 jest sprzeczne dla x=3 wyjdzie p=1 i p=7

ZKS: Jak jest sprzeczne? Przecież dla f(3) = 0 otrzymamy p = 1 ∨ p = 7 i z warunku z Δ otrzymamy tylko p = 7.

Asmander: aha już to zrozumiałem bo myślałem że Δ=0 a jest Δ>0