pochodna john2:

	arctg2x
(		)' =
	arcctg2x

	1   −1   * 2 * arcctg2x − arctg2x * * 2 1+4x2   1+4x2
=		=
	(arcctg2x)2

	2arcctg2x   2arctg2x   + 1+4x2   1+4x2
=		=
	(arcctg2x)2

	2arcctg2x + 2arctg2x
=
	(arcctg2x)2(1+4x2)

W odpowiedziach jest

π
(arcctg2x)2(1+4x2)

Skąd to π?

Godzio:

	π
arctgx + arcctgx =
	2

Jak wyłączysz dwójkę to otrzymasz tę sumę, pomnożona przez dwa da Ci π

john2: Tak. Właśnie chciałem wiedzieć, z czego wynika to równanie, które zapisałeś.

Godzio: Jest takie twierdzenie o tożsamości, jeżeli f'(x) = g'(x) oraz istnieje x₀ taki, że f(x₀) = g(x₀) to funkcje są tożsamościowo równe. Jeżeli policzysz pochodną funkcji f(x) = arctgx + arcctgx otrzymasz 0, pochodną funkcji

	π		π
g(x) =		również 0, w punkcie x = 1 wartość obu funkcji jest równa		więc z
	2		2

twierdzenia mamy równość

Godzio: Bardziej elementarnie, zaraz powinienem coś naskrobać

Godzio: Niech arctgx = α oraz arcctgx = β wówczas x = tgα oraz x = ctgβ

	π
Chcemy pokazać, że α + β =
	2

Mamy: tgα = ctgβ Ze wzorów redukcyjnych:

	π
tgα = tg(		− β), a z tej równości mamy:
	2

	π		π
α =		− β ⇒ α + β =
	2		2

john2: Aha. Dzięki wielkie.