Wykazywanie Piotr Piguła: Czy można wykazać że log₇2 <0,36 bez tablic kalkulatorów itp. itd

5-latek: Można jeśli się zna wartoscli log2 i log7 (ja akuratnie je znam nalezaloby jeszcze znac wartość log 3 i wyprowadzadsz sobie jakie chcesz wartość logarytmu dziesiętnego log2=0,301 log7= 0,845 log3= 0,448 sa to oczywiście wartości przybliżone

	log2		0,301
teraz log72=		=		=0,356<0,36
	log7		0.845

henrys: Może tak, tylko jedno dzielenie pisemne będzie

	1
log72=
	log27

	1
Niech f(x)=
	log2x

x₀=8 Δx=x−x₀=−1 f(x)=f(x₀)+Δxf'(x₀)

	1		1
f'(x)=−		*
	(log2x)2		xln2

	1		1
f'(x0)=f'(8)=−		=−
	9*8ln2		72ln2

	1
f(x0)=f(8)=
	3

	1		1		1
f(7)=		=		+		=...
	log27		3		72ln2

ln2=1−1/2+1/3−1/4+...>14/24

1		1		1		1		1		15
	=		+		=		+		=		<0,36
log27		3		72*14/24		3		42		42

henrys: W ostatniej linijce powinno być

1		1
	<		+...
log27		3

b.: można też tak − przekształcamy równoważnie: 2 < 7^9/25 2²⁵ < 7⁹ i teraz: 33554432 < 40353607 i to się da wyliczyć bez kalkulatora albo tak: 2 * 256³ < 343³ 2 < (343/256)³ ale 343/256 > 4/3, więc wystarczy sprawdzić, że 2 < (4/3)³ = 64/27, zgadza się

henrys: no ba

Mila:

	9
0.36=
	25

log₇(2)<log₇(7^9₂₅) 2<7^9₂₅ /²⁵ 2²⁵<7⁹ Baw się dalej.

Waldemar3: To chyba można jeszcze troszkę uprościć: 0,36 R lg₇2 ⇔9lg₂7 R 5lg₂32 ⇒ 27−(reszta z Taylora mniejsza od 2) > 25.Czy tak?

Mariusz: Wartość logarytmu dwójkowego można policzyć bit po bicie a stosując wzór na zmianę podstawy logarytmu można dostać każdy logarytm Sprowadzasz liczbę logarytmowaną do przedziału <1,2) dzieląc albo mnożąc ją Zliczasz liczbę dzieleń z plusem a liczbę mnożeń z minusem Jeżeli kwadrat liczby logarytmowanej nie jest mniejszy do dwójki to do liczby dzieleń dodajesz ujemną potęgę dwójki (2⁻ⁱ) gdzie i to liczba iteracji a za nową liczbę logarytmowaną przyjmujesz połowę kwadratu poprzedniej liczby Jeżeli kwadrat liczby logarytmowanej jest większy do dwójki to nie dodajesz potęgi dwójki a za liczbę logarytmowaną przyjmujesz kwadrat poprzedniej liczby

PW: Mariusz, to jeszcze matematyka, czy przepis z książki kucharskiej? Ja to prawie maleję do szeptu gdy widzę takie porady: "Wartość logarytmu dwójkowego można policzyć bit po bicie".