Wykaż, że jeżeli różne od zera liczby a i b są tego samego znaku magda: Wykaż, że jeżeli różne od zera liczby a i b są tego samego znaku, to:

a3		b3
	+		≥ a2 + b2.
b		a

Pomoże ktoś?

Eta: Jeżeli a≠0 i b≠0 i ai b są tego samego znaku to iloczyn ab >0 załóżmy,że taka nierówność zachodzi, to przekształcamy ją równoważnie:

a3		b3
	+		≥ a2+b2 / * ab>0
b		a

a⁴+b⁴≥a³b+b³a a⁴−3a³b+b⁴−b³a≥0 a³(a−b) −b³(a−b)≥0 (a−b)(a³−b³)≥0 (a−b)(a−b)(a²+ab+b²)≥0 (a−b)²(a²+ab+b²) ≥0 −− zachodzi bo (a−b)²≥0 i ( a²+ab+b²)≥0 i ab>0 równość zachodzi dla a=b i a≠0 i b≠0 zatem wyjściowa nierówność jest prawdziwa

magda: Dzięki!

GO$i@: a, b >0 lub a, b <0 a⁴+b⁴≥a³*b+b³*a a⁴ + b⁴ − a³*b − b³*a ≥ 0 L = a³*(a−b) + b³*(b−a) = a³*(a−b) − b³*(a−b) = (a − b)(a³ − b³) dla a, b <0 a−b= −n a³−b³= −m gdzie m, n∊N (a − b)(a³ − b³) = −m * −n =mn>0 dla a, b >0 jeżeli a>b a−b=k a³−b³=l gdzie k, l ∊N (a − b)(a³ − b³)= kl>0 jeżeli a<b a−b= − p a³−b³= − r gdzie p, r ∊N (a − b)(a³ − b³)= −p * −r =pr >0 jeżeli a=b (a − b)(a³ − b³)= (a−a)(a³ − a³)= 0

5-latek: dzień dobry Eta Masz chochlika z ta trojka . ja tak samo zrobiłem wczoraj .

5-latek: Teraz zapoznaje się z tymi wzorami co kiedyś dalas Lukasowi dp przerobienia .

Ala: Dzięki "małolatku" oczywista −oczywistość ( nie wiem czemu wpisało mi się −3 przed a³b pozdrawiam

Eta:

PW:

	a4+b4		(a2+b2)2−2a2b2
		=		,
	ab		ab

a więc badana nierówność jest równoważna nierówności

	(a2+b2)2−2a2b2
		≥ a2 + b2,
	ab

skąd po pomnożeniu stronami przez dodatnie ab (dodatnie, bo liczby a i b są tych samych znaków) otrzymamy nierówność równoważną (1) (a²+b²)²−2a²b² ≥ (a²+b²)ab. Dla krótkości zapisu oznaczmy a²+b² = x, ab = k, widać wtedy ze mamy do czynienia z nierównością (2) x² − kx − 2k² ≥ 0, w której x > 0 i k > 0. Wyróżnik Δ jest równy 9k², √Δ = 3k (bo k > 0). Nierówność (2) jest spełniona dla dodatnich

	k+3k
x ≥
	2

x ≥ 2k. Z uwagi na przyjęte oznaczenia wynika stąd, że jest prawdziwa gdy a² + b² ≥ 2ab (a − b)² ≥ 0, co jest oczywiste dla wszystkich a i b. W dowodzie wykorzystaliśmy założenie ab > 0, a więc badana nierówność jest prawdziwa dla a, b tych samych znaków. To kończy dowód.

5-latek: Pozdrawiam

magda: Dzięki wszystkim, idę dalej trenować te zadania