Zbadać zbieżność szeregów. john2: Zbadać zbieżność szeregów. Proszę o sprawdzenie. Być może da się prościej lub inaczej, ale chciałbym wiedzieć, czy to jest po prostu poprawne.

	2 + (−1)n
1) oo∑n=1
	n2

Jest to szereg o wyrazach nieujemnych.

1		2 + (−1)n		3
	≤		≤
n2		n2		n2

Na mocy kryterium porównawczego szereg jest zbieżny.

	1		1
2) oo∑n=1 sin		* cos
	n		n

Jest to szereg o wyrazach nieujemnych. Korzystam z faktu, że:

	1   sin   n		1
limn−>∞		* cos		= 1
	1   n		n

	1   sin   n		1
|		* cos		− 1| < ε
	1   n		n

	1   sin   n		1
1 − ε <		* cos		< 1 + ε
	1   n		n

	1
Biorę epsilon np. =		, wtedy:
	2

1		1   sin   n		1		3		1
	<		* cos		<		/ *
2		1   n		n		2		n

1		1		1		3
	< sin		* cos		<
2n		n		n		2n

Na mocy kryterium porównawczego jest to szereg rozbieżny.

	sin(n√n)
3) oo∑n=1
	n√n

Jest to szereg o wyrazach różnego znaku.

	sin(n√n)		|sin(n√n)|
Badam szereg oo∑n=1 |		| = oo∑n=1
	n√n		n√n

0 ≤ |sin(n√n)| ≤ 1

|sin(n√n)|		1
	≤
n√n		n√n

|sin(n√n)|		1
	≤
n√n		n3/2

Więc szereg 3) jest bezwzględnie zbieżny.

	1
4) oo∑n=1		=
	√n(n+1)(n+2)

	1
= oo∑n=1		=
	√n√n+1√n+2

	1
= oo∑n=1		=
	√n * √n * √1 + 1/n * √n * √1 + 2/n

	1
= oo∑n=1
	n3/2 * √1 + 1/n * √1 + 2/n

1		1
	≤
n3/2 * √1 + 1/n * √1 + 2/n		n3/2

Na mocy kryterium porównawczego szereg jest zbieżny.