Znowu indukcja Pseudodionizy Areopagita: Dobry wieczór, ja znowu w sprawie indukcji. Wydaje mi się, że dobrze przepisałem zadanie, ale proszę o poprawienie ewentualnego głupiego błędu. ∀n∊N 4ⁿ>n³ Sprawdzam dla n=0: L=4⁰=1 P=0³=0 L>P Wszystko się zgadza. Teraz hipoteza: Z: 4ⁿ>n³ T: 4ⁿ⁺¹>(n+1)³ D: 4ⁿ>n³ / *4 4ⁿ⁺¹>n³*4 Teraz muszę udowodnić, że n³*4>(n+1)³. Zgadza się to dla wszystkich liczb naturalnych z wyjątkiem jedynki. Co tym razem robię źle? Może powinienem zacząć od sprawdzenia 1 zamiast 0, ale hipoteza ma być prawdziwa dla n≥n₀, więc to chyba nie to.

Lukas: Dobranoc.

b.: > Może powinienem zacząć od sprawdzenia 1 zamiast 0? Zacząć powinieneś od zera, ale jedynkę i dwójkę też możesz sprawdzić dodatkowo. Wtedy w kroku indukcyjnym n będzie >= 2 i będzie OK. (Przydałoby się napisać coś o n w kroku indukcyjnym. A z nieistotnych tu drobiazgów, wystarczy udowodnić, że 4n³ ≥ (n+1)³, tj. słabą nierówność).

Pseudodionizy Areopagita: Ok, rozumiem. Dziękuję.

5-latek: Mam w zbiorze zadań podobne zadanie i jest tak Dla każdego n≥10 4ⁿ>n³

b.: Jak jest prawdą dla n>=0, to też dla n>=10.

Pseudodionizy Areopagita: Zadanie zrobiłem w końcu tak: 1. Sprawdziłem dla 0, 1 i 2. 2. Hipoteza indukcyjna tak, jak to zrobiłem wyżej, ale dla n≥2. 3. Dochodzę do nierówności 4ⁿ⁺¹>4n³ i to również dowodzę normalnie przy użyciu indukcji, z tym że ∀n≥2. I teraz wszystko wychodzi. Dziękuję.