r john2:

	ln(n)
Zbadać zbieżność oo∑n=1 (−1)n *
	n

Chcę zastosować kryterium Leibniza i nie wiem, czy to tak ma wyglądać: Warunek konieczny zbieżności jest spełniony.

	ln(n)
limn−>∞ (−1)n *		= 0
	n

Sprawdzam, czy prawdziwa jest nierówność: |a_n+1|≤|a_n|

ln(n + 1)		ln(n)
	≤
(n + 1)		n

nln(n + 1) ≤ (n + 1)ln(n) (n + 1)ⁿ ≤ n^{n + 1} (n + 1)ⁿ ≤ nⁿ * n / : nⁿ

	n + 1
(		)n ≤ n
	n

Co teraz? Czy policzenie granic lewej i prawej strony przesądzi o sprawie? LEWA:

	n + 1
limn−>∞ (		)n =
	n

	1
= limn−>∞ (1 +		)n = e
	n

PRAWA: lim_n−>∞ n = + ∞

	n + 1
Więc nierówność (		)n ≤ n od pewnego miejsca N > n jest spełniona, więc szereg jest
	n

zbieżny.

Kacper: Jaka jest definicja ciągu malejącego? Ty sprawdzasz, że nieróność zachodzi w nieskończoności, a co jak na pierwszych kilku miejscach nie pasuje? Błędne rozumownie.

john2: Tzn. ja zrozumiałem to kryterium w ten sposób, że dopiero począwszy od pewnego miejsca N ta nierówność ma być spełniona, więc niekoniecznie dla wszystkich n. Więc myślałem, że skoro lewa strona maksymalnie przyjmie wartość e, a prawa idzie w nieskończoność, to znajdzie się takie miejsce N. Ale faktycznie coś to rozumowanie nie pasuje. Ciąg jest malejący, gdy a_{n + 1} − a_n < 0, ale to wychodzi na prawie tę samą nierówność, której nie umiem wykazać.

Saizou : A może tak z kryterium całkowego

john2: Jeszcze nie doszedłem do tego kryterium, a przynajmniej Panowie Krysicki i Włodarski "jeszcze" o nim nie wspomnieli, a to zadanie jest właśnie stamtąd. Ale jeśli tak trzeba, to ok. Odłożę zadanie na później.

Saizou : ale z kryterium Leibniza też można

	ln(n)
Sprawdźmy kiedy		jest malejący, skorzystamy w tym celu z rachunku różniczkowego.
	n

Liczęc pochodną

	ln(n)		1−ln(n)
(		)'=		<0
	n		n2

1−ln(n)<0 ln(n)>1=lne

	ln(n)
n>e zatem		jest malejący w przedziale n>e
	n

	ln(n)		1   n
Obliczając granicę limn→∞		=H=limn→∞		=0, zatem na mocy kryterium
	n		1

Leibniza mamy szereg zbieżny

john2: Aha.. takie buty. Ja błędnie zakładam, że teoria przedstawiona w tym zbiorze zadań ma wystarczyć do zrobienia tych zadań. Dzięki piękne.

Saizou : Przecież to jest wszystko w tym zbiorze xd Pochodne i całki są tylko chyba później

john2: Tak. Ja idę po kolei stronami i nie spodziewałem się (choć nie są te zagadnienia mi obce), że będzie ich znajomość wymagana na tym etapie.

Saizou : Matematyka to taka dziedzina że się zazębia, a jeśli coś łatwiej policzyć przy pomocy znanych nam narzędzi np. różniczkowania, czy reguły de'Hospitala to czemu z tego nie skorzystać

john2: Zgoda.