Rownanie logarytmiczne nr 2 5-latek: Nastepna postac równania logarytmicznego Dane jest równanie postaci (2) log_pf(x)= log_pg(x) gdzie p>0 i p≠1 i f(x) i g(x) sa funkcjami algebraicznymi . Zakresem równania nr 2 jest zbior Z={x: f(x)>0 ∧g(x) >0 } czyli zbior tych wartości x dla których zarówno funkcja f(x) i g(x) przybiera wartości wiekszse od zera Twierdzenie : ============= Rownanie f(x)=g(x) jest rownowazne w zbiorze Z={x: f(x)>0 ⋀g(x)>0 } równaniu nr [C[(2)}} Przykład log(x²−5x+6)= log(x²−1) Zakres równania to Z={x: x²−5x+6>0 ⋀x²−1>0} x²−1>0 to x∊(−∞ −1)U(1,∞)

	4		6
x2−5x+6>0 to Δ=25−24=1 to √Δ=1 wiec x1=		=2 i x2=		=3 wiec
	2		2

Z={x: x∊(−∞,−1)U(1,2)U(3∞)} (czy to jest prawidłowy zapis ? Zgodnie z naszym twierdzeniem piszsemy x²−5x+6= x²−1

	7
−5x=−7 to x=		∊Z (powinno być dobrze rozwiązane
	5

Jednak nie wiem jak mam udowodnić to twierdzenia (skorzystać należy z wlsnosci funkcji logarytmicznej

PW: Rzecz jest oczywista, logarytm jest funkcją różnowartościową, to znaczy log_pa = log_pb ⇔ a = b dla a,b > 0. Napisanie f(x) zamiast a i g(x) zamiast b niczego nie zmienia (dla f(x)>0 i g(x)>0).

5-latek: Może ktoś przeczyta i pokaze dowod Ja natomiast zajme się dalej postacia nr2 Jeżeli g(x) jest funkcja stala wieksza od zera to równanie log_pf(x)= log_pg(x) przybiera postac log_pf(x)=k skad f(x)= p^k Przykład log₂(x²+7x)=3 Z={x: x²+7x>0 } x²+7x>0 to x∊(−∞,−7)U(0 ∞) (to można wyznaczyć w pamięci wiec x*2+7x= 2³ x²+7x−8=0

	−16		2
Δ= 49+32=81 to √81= 9 wiec x1=		=−8 i x2=		=1
	2		2

x=−8∊Z i x= 1∊Z − sa to pierwiastki równania Jeśli f(x)=xⁿ gdzie n to licznba naturalna i g(x) jest funkcja stala >0 to równanie log_pf(x)=log_pg(x) przyjmie postac log_pxⁿ=k Stad mamy xⁿ=p^k >0 czyli xⁿ−p^k=0 Przykład logx²=2 Zakres równania Z={x: x²>0} wiec x²=10² x²=100 x²−100=0 to (x+10)(x−10)=0 to x=10 ∨x=−10 mam tutaj tez taka uwagę UWAGA: Rownanie 2logx=2 nie jest rownowazne równaniu logx²=2 i ogolnie równanie 2nlog_px=k (n− liczba naturalna nie jest rownowazne w zbiorze ℛ równaniu log_px²ⁿ =k Zakresy tych rownan nie sa jednakowe .

Eta: "małolatku" Nie ucz się na pamięć !

5-latek: Witam PW dziekuje za odpowiedz . Te dowody sa dla mnie trudne (ale czasami dobrze jest wiedzieć dlaczego tak jest Teraz już rozumiem

5-latek: Dobry wieczor Eta . Pozdrawiam Staram się tez przy tej okazji zrozumieć . Przy okazji cwicze tez pamięć mam jeszcze pare postaci tych rownan i będę tez musial zapoznać się dobrze z tymi wzorami które kiedyś dalas Lukasowi Mam je zapisane w osobnym folderze .

5-latek: Potem tez będę chciał porobić zadania z rownan wykładniczych i logarytmicznych z e zbioru Antonow Sankin .