Indukcja - nierówność Pseudodionizy Areopagita: Bardzo proszę mi wyjaśnić, co robię źle.

1		1		1		1		1
	+		+		+...+		>2−		dla n>1
12		22		32		n2		n

Przejdźmy od razu do hipotezy indukcyjnej:

	1		1		1		1		1
Z:		+		+		+...+		>2−
	12		22		32		n2		n

	1		1		1		1		1		1
T:		+		+		+...+		+		>2−
	12		22		32		n2		(n+1)2		n+1

	1		1		1		1		1		1
D:		+		+		+...+		>2−		/ +
	12		22		32		n2		n		(n+1)2

1		1		1		1		1		1		1
	+		+		+...+		+		>2−		+
12		22		32		n2		(n+1)2		n		(n+1)2

I teraz chciałem skorzystać z przechodniości nierówności: jeżeli a>b i b>c, to a>c. Wobec tego jeżeli:

1		1		1		1		1		1		1
	+		+		+...+		+		>2−		+
12		22		32		n2		(n+1)2		n		(n+1)2

	1		1		1
i 2−		+		>2−
	n		(n+1)2		n+1

	1		1		1		1		1		1
to		+		+		+...+		+		>2−
	12		22		32		n2		(n+1)2		n+1

czyli nasza teza, do której mamy dojść. Jeśli więc udowodnię tą drugą nierówność, to będę mógł zakończyć dowód. Jednak problem tkwi w tym, że ta nierówność wg moich obliczeń jest nieprawdziwa. Bardzo proszę o wskazanie jakichś błędów w mojej argumentacji i podanie właściwego dowodu, najlepiej z użyciem przechodniości nierówności, chyba, że nie da się tu zastosować tej metody (dlaczego?).

ZKS: Sprawdzałeś dla n = 2?

1		1		1
	+		= 1 +		= 1.25
12		22		4

	1
2 −		= 1.5
	2

Pseudodionizy Areopagita: Tak tak, zacząłem oczywiście od sprawdzenia pierwszej liczby i tutaj wszystko OK. Problem mam dopiero dalej z tymi nierównościami.

ZKS: Pokazałem, że wychodzi sprzeczność. 1.25 < 1.5

PW:

	1		1		(n+1)2 − n		n2+2n+1−n
−		+		= −		= −		=
	n		(n+1)2		n(n+1)2		n(n+1)2

	n(n+1) + 1		n(n+1)		1
= −		= −		−		=
	n(n+1)2		n(n+1)2		n(n+1)2

	1		1		1
= −		−		< −
	n+1		n(n+1)2		n+1

− masz rację, pożądana nierówność jest fałszywa. Tyle że teza też jest fałszywa, nierowność powinna być przeciwna. Gdybyś nie pisał "przejdźmy od razu do hipotezy indukcyjnej", tylko sprawdził dla n=1, to od razu byłoby widać:

	1		1
		> 2 −
	12		1

jest zdaniem fałszywym, podobnie jak fałszywe jest dla n=2 zdanie

	1		1		1
		+		> 2 −		.
	12		22		2

ZKS: PW dla n > 1, ale i tak pokazałem, że dla n = 2 również to nie zachodzi.

ZKS: Przepraszam na końcu postu również napisałeś o n = 2 nie zauważyłem.

PW:

Pseudodionizy Areopagita: Dziękuję. Czyli źle przepisane zadanie? Stanowczo zbyt często mi się to zdarza. Muszę to wszystko poodwracać w takim razie.

Pseudodionizy Areopagita: Heh, wszystko jasne. Dziękuję.