Liczby zespolone Ania: Mam takie zadanie √3−4i . Bardzo proszę o pomoc próbowałam różnymi sposobami, więc albo czegoś nie rozumiem, albo nie mogę na to wpaść. Bardzo proszę o pomoc.

Ania: Chociaż napiszcie z jakiego wzoru czy coś

Mariusz: ±√|z|*(cos(arg(z)/2)+isin(arg(z)/2)) Skorzystaj ze wzoru na funkcje trygonometryczne połowy kąta jeśli chcesz mieć wynik w postaci algebraicznej

Ania: arg(z)? Przepraszam. Ja czasem potrzebuje to tak łopatologicznie

Mariusz: Wzór de Moivre

	1		arg(z)+2kπ		arg(z)+2kπ
|z|		(cos(		)+icos(		))
	n		n		n

k∊ℤ_n

Mariusz: Miałaś biegunowy układ współrzędnych ?

Ania: argument z to jest tak jakby poprzedni pierwiastek?

Ania: Raczej nie.

Ania: Albo i miałam tylko nie kojarzę z nazwy.

Mariusz: W układzie biegunowym punk reprezentowany jest przez długość promienia wodzącego (odcinek między biegunem− naszym punktem (0,0) a danym punktem ) i kąt między promieniem wodzącym a osią biegunową (półprosta o początku w biegunie) Wartość bezwzględna to długość promienia wodzącego liczona z twierdzenia Pitagorasa Argument to kąt nachylenia promienia wodzącego do osi biegunowej (znasz chyba takie twierdzenie że współczynnik kierunkowy prostej jest tangensem kąta nachylenia prostej do osi OX)

Ania: No dobra to widać od razu z tego wzoru. Bardziej chodzi mi o to że ja sobie robie to wysztko wyliczam promień wodzący który jest równy 5. Potem jak wsadziłam do wzoru to wychodzi mi pierwiastek z 5 a powinno wyjść 2(+/−)i

Mila: I sposób √3−4i=x+iy gdzie x,y∊R⇔ 3−4i=(x+iy)² 3−4i=x²+2xyi+i²y²⇔ 3−4i=(x²−y²)+2xyi⇔ x²−y²=3 i 2xy=−4 /:2 xy=−2

	−2
y=		podstawiam do pierwszego
	x

	−2
x2−(		)2=3
	x

x⁴−4=3x² x⁴−3x²−4=0 Δ=9+16=25

	3−5		3+5
x2=		<0 lub x2=		=4
	2		2

stąd x=2 lub x=−2

	−2
y=		=−1 lub y=1
	2

z₁=2−i lub z₂=−2+i || sposób √3−4i=√(2−i)² To taki przypadek, że trudno wyznaczyć argument, ale wzór skróconego mnożenia pasuje. Zapamiętaj, przydaje się. spr. (2−i)²=4−4i+i²=4−4i−1=3−4i warto pokombinować .

Mariusz: Mila może i trudno wyznaczyć argument ale wzory na cosinus i sinus kąta połówkowego istnieją co zresztą wcześniej napisałem

Mariusz: Aniu z twierdzenia Pitagorasa masz że |z|²=Re(z)²+Im(z)² Re − Realis część rzeczywista , w zapisie użytkownika Mila x Im − Imaginarius część urojona , w zapisie użytkownika Mila y tak więc zapomniałaś wziąć pierwiastek przy liczeniu wartości bezwzględnej