Ciągi kazikmagik: Dany jest ciąg: (2, −2, 3, −3, 4, −4, 5, −5, ...). Wyznacz wyraz ogólny ciągu.

anaisy:

	n+1
an=([		]+1)(−1)n+1, gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x. Łatwo udowodnić
	2

przez indukcję, że działa.

Mariusz: a_n=a_n−2+(−1)ⁿ A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ

Mariusz: a₀=2 a₁=−2

kinga: a_n = (n+1)(−1)ⁿ⁺¹

Mariusz: kinga

	1		1
Mnie wyszło an=		(2n+7)(−1)n+
	4		4

Rozwiąż to równanie rekurencyjne które podałem najlepiej z użyciem funkcji tworzących

Mariusz: anaisy możesz pokazać skąd wziąłeś ten wzór Jest prawdziwy pod warunkiem że indeksujemy od jedynki

Mariusz: a₀=2 a₁=−2 a_n=a_n−2+(−1)ⁿ A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞a_n−2xⁿ+∑_n=2^∞(−1)ⁿxⁿ

	x2
∑n=0∞anxn+2x−2=x2∑n=2∞an−2xn−2+
	1+x

	x2
∑n=0∞anxn+2x−2=x2∑n=0∞anxn+
	1+x

	x2
A(x)+2x−2=x2A(x)+
	1+x

	x2
A(x)(1−x2)=		+2(1−x)
	1+x

	x2+2(1−x2)
A(x)(1−x2)=
	1+x

	2−x2
A(x)=
	(1+x)2(1−x)

A		B		C		2−x2
	+		+		=
1+x		(1+x)2		1−x		(1+x)2(1−x)

A(1−x²)+B(1−x)+C(1+2x+x²)=2−x² A+B+C=2 −B+2C=0 −A+C=−1 B=2C A+3B=2 −A+C=−1 4C=1

	1
C=
	4

	1
B=2C=
	2

	5
A=1+C=
	4

5	1		1	1		1	1		2−x2
		+			+			=
4	1+x		2	(1+x)2		4	1−x		(1+x)2(1−x)

Z jednej strony mamy

d
	(∑n=0∞(−1)nxn)=∑n=0∞n(−1)nxn−1
dx

=∑_n=1^∞n(−1)ⁿxⁿ⁻¹=∑_n=0^∞(n+1)(−1)ⁿ⁺¹xⁿ =−(∑_n=0^∞(n+1)(−1)ⁿxⁿ) z drugiej zaś

d		1		1
	(		)=−
dx		1+x		(1+x)2

Zatem

	1
∑n=0∞(n+1)(−1)nxn=
	(1+x)2

2−x2		5		1
	=∑n=0∞		(−1)nxn+∑n=0∞		(n+1)(−1)n+
(1+x)2(1−x)		4		2

	1
∑n=0∞		xn
	4

	5		1		1
an=		(−1)n+		(n+1)(−1)n+
	4		2		4

	1		1
an=		(2n+2+5)(−1)n+
	4		4

	1		1
an=		(2n+7)(−1)n+
	4		4