równanie Laplace'a matroz: Witam, Na zajęciach z przepływu ciepła wyprowadzaliśmy wzory mówiące o strumieniu ciepła. Wykorzystywaliśmy równanie Laplace'a − od niego wychodziliśmy: nabla² T = 0

	d2T
− dla układu kartezjańskiego założyliśmy:		= 0
	dx2

	d2T		1		dT
− układ cylindryczny − walec;		+				= 0
	dr2		r		dr

	d2T		2		dT
− układ sferyczny − kula:		+				= 0
	dr2		r		dr

Oznaczenia: T − temperatura, x − odległość od początku przegrody, r − promień Czy moglibyście wyprowadzić wzory dla tych trzech układów? Lub − przybliżyć, jak się to wyprowadza? W zastosowaniu inżynierskim to się nie przyda, ale myślę że warto wiedzieć z czego wynikają pewne rzeczy. Pozdrawiam

matroz: odświeżam

Godzio: Układ cylindryczny jest dwuwymiarowy, a sferyczny trzy? Tak należy to rozumieć?

Godzio: Może wyprowadzę ogólnie ... ΔT = T_x1x1 + T_x2x2 + ... + T_xnxn Przyjmujemy, że T = T(r), gdzie r = √x₁² + ... + x_n²

	1
Txi = Tr * rxi = Tr *		* 2xi
	2√x12 + ... + xn2

	xi
= Tr *
	r

	xi		r − rxi * xi
Txixi = Trr * rxi *		+ Tr *		=
	r		r2

	xi2		xi2   r −   r
= Trr *		+ Tr *		=
	r2		r2

	xi2		r2 − xi2
= Trr *		+ Tr *
	r2		r3

Teraz sumujemy wszystkie drugie pochodne i otrzymujemy:

	r2		nr2 − r2
ΔT = Trr *		+ Tr *		=
	r2		r3

	n − 1
= Trr + Tr *
	r

Jeżeli teraz przyjmiemy układ cylindryczny tzn. dwuwymiarowy (n = 2) otrzymujemy

	d2T		1		dT
ΔT = 0 ⇒		+				= 0
	dr2		r		dr

Przy sferycznym, n = 3 mamy

d2T		2		dT
	+				= 0
dr2		r		dr

matroz: Dziękuję za odpowiedź, Chciałbym jednak prosić o objaśnienie symboli, bo obecnie średnio mogę się połapać: T_xnxn, T_xi r − rozumiem że z tw. Pitagorasa? r_xi − skąd to obliczyłeś? (3 równanie)

Godzio: T_xi − pochodna T po i − tej współrzędnej T_xnxn − druga pochodna po n − tej współrzędnej r − tak, można to tak rozumieć r_xi to pochodna promienia po x_i, a promień to r = √x₁² + ... + x_n² więc pochodna po jednym takim elemencie to:

1		xi		xi
	* 2xi =		=
2√x12 + ... + xn2		√x12 + ... + xn2		r

T_xi = T_r * r_xi −− a to się nazywa reguła łańcucha

matroz: Ok reguła łańcucha − rozumiem, chciałbym jeszcze, abyś podpowiedział, skąd wzięła Ci się tam w 3 równaniu suma 2 czynników? Ja rozwiązałem tylko tak:

	1
d2T/dx2 = d2T/dr2 + dr2/dx2 = d2T/dr2 *
	r

matroz: dodam, że próbowałem jakoś z pochodnej f. złożonej ale nie wychodzi tak, jak Ty masz

matroz: (sory za spam − brak możliwości edycji) w równaniu które napisałem miał być oczywiście iloczyn a nie suma

matroz: odświeżam − jak została obliczona ta druga pochodna?

matroz: Halohalo ktoś może ma jakiś pomysł? W sumie z tego zrezygnowałem, bo sam nie umiem, a nie znalazłem tego w żadnej książce do przepływu ciepła ani do matmy (polskie i anglojęzyczne) ale pomyślałem że ostatni raz Was zapytam

Lukas: Dobranoc.