Zbieżność szeregu Marta: Zbadaj zbieżność szeregów: a) arctgn/(n²+1) Czy korzystam z twierdzenia porównawczego 1/n² ? Na mocy tego kryterium szereg zbieżny b) 1/ln²n Szereg rozbieżny bo 1/n rozbieżny c) ((n+1)/n)⁽2*n) lim n−>∞ pierwiastek z n (an)=((n+1)/n)²=1²=1 kryterium Cauchyego nie mówi nam nic o szeregu gdy g=1 d) 1/ lnⁿ (1+2/n) Stosuję kryterium Caychego: lim n−>∞pierwiastek z n (ln⁻n(1+2/n)=ln⁻1(1)=∞ >1, czyli szereg rozbieżny

Godzio: a) Ok, ale ograniczenie trzeba jakoś uzasadnić b) Też ok, ale jakieś uzasadnienie ? c) zapis ? ? ? ? d) Jeszcze raz policz granicę, bo nie wychodzi +∞

Marta: Adc) (n+1)/n do potęgi 2*n

Godzio: d) Jednak ok Źle spojrzałem.

Marta: no przecież uzasadniłam w b) 1/n rozbieżny

Godzio:

	n+1		1
(		)2n = [(1 +		)n ]2 → e2 ≠ 0 szereg rozbieżny bo warunek konieczny nie
	n		n

jest spełniony

Marta: Godzio powiedz mi jakie uzasadnienia

Godzio: Ale dlaczego tai ciąg w tym b)?

Godzio:

	arctg(n)		π   2		π		1
a)		≤		≤		*
	1 + n2		1 + n2		2		n2

b) ln²(n) ≤ n −− rozumiem, że z tego korzystasz, a to jest oczywiste?

Marta: nie...

Marta: Szczerze mówiąc te szeregi robię na tzw. pałę bez myślenia...

Godzio:

lnk(n)
	→ 0 przy n → ∞, więc od pewnego miejsca n0 mamy spełnioną nierówność:
n

ln^k(n) ≤ n To miejsce mało nas interesuje, ale możemy zapisać formalnie tak:

	1
∑n=1∞		=
	ln2(n)

	1		1
= ∑n=1n0		+ ∑n=n0+1∞
	ln2(n)		ln2(n)

A ponieważ ln²(n) ≤ n od pewnego miejsca to z kryterium porównawczego szereg

	1
∑		jest rozbieżny.
	ln2(n)

Marta: w tym a) nie powinno być jeszcze pi/2 *1/n²≤1/n² , zatem szereg zbieżny

Marta: a w b) po prostu bym zrobiła tak ln²(n)≤n czyli 1/ln²(n)≥1/n więc szereg rozbieżny bo 1/n rozbieżny

Marta: a to d) może być Godzio?

Godzio:

	π
a) Popatrz jaką nierówność napisałaś,		≤ 1 ...
	2

To co napisałem jest ok Jeżeli szereg ∑a_n jest zbieżny to szereg ∑Ca_n, gdzie C to stała liczba też jest zbieżńy. b) To już zależy od sprawdzającego czy to uzna czy nie ... d) Może być

Marta: Dzięki wielkie! Zapraszam na dobry obiad