Całka z pierwiastkiem Ania: Bardzo proszę o pomoc w zadaniu. ∫√3−2x−x²dx

ICSP: Sprowadź funkcje kwadratową do postaci kanonicznej.

Ania: No nawet jeśli to i tak nie bardzo wiem co to daje bo mam ∫√−(x+1)²+4dx

ICSP: Podstawienie u = x + 1 i masz całkę : ∫√4 − u² du Dalej podstawiasz u = 2sint.

Ania: ale to jest jakieś konkretne podstawienie trygonometryczne czy coś? Nie umiem tego chyba

ICSP: na całkę typu : ∫√a² − x² dx można użyć podstawienia x = asint. Innym sposobem jest podstawienie Eulera (II oraz III), a jeszcze innym

	√4 − u2
przemnożenie licznika i mianownika przez		i policzenie całek
	√4 − u2

stowarzyszonych. Pierwszy sposób moim zdaniem jest najszybszy.

Ania: Mógłbyś mi to dokończyć, bo nie bardzo widzę jak to działa. A jak napiszesz to zapamiętam schemat może.

ICSP:

	u
ech u = 2sint skąd t = arcsin
	2

∫√4 − u² du = | u = 2sint | = ∫√4 − 4sin²t*2cost dt = 4∫cos²t dt =

	1 + cos2t
= 4 ∫		dt = 2t + sin2t + C = 2t + 2sintcost + C =
	2

	u		u
= 2arcsin		+ 2 *		* √1 − u2/4 + C =
	2		2

	u		u
= 2arcsin		+		*√4 − u2 + C
	2		2

Dalej już prosto.

J: u = 2sint , du = 2cost

	cos2t + 1
= ∫√4 − 4sin2t*2costdt = 4∫√1−sin2tcostdt = 4∫cos2tdt = 4∫		dt =
	2

	u
= 2∫cos2t + 2∫dt = = sin2t + 2t + C = 2sintcost + u*√1−u2 + 2arcsin		+ C
	2

ICSP: J za dużo troszkę

Ania: Dzięki, dzięki

J: Witaj ICSP .... ciut,ciut ...

ICSP: Witam

Mariusz: Nie lepiej przez części ? ∫√3−2x−x²dx=∫√4−1−2x−x²dx=∫√4−(x+1)²dx

	−(x+1)2+4−4
∫√4−(x+1)2dx=(x+1)√4−(x+1)2−∫		dx
	√4−(x+1)2

	dx
∫√4−(x+1)2dx=(x+1)√4−(x+1)2−∫√4−(x+1)2dx+4∫
	√4−(x+1)2

	dx
2∫√4−(x+1)2dx=(x+1)√4−(x+1)2+4∫
	√4−(x+1)2

	1	dx
2∫√4−(x+1)2dx=(x+1)√4−(x+1)2+4∫
	2	x+1   √1−( )2   2

	1		1	dx
∫√4−(x+1)2dx=		(x+1)√4−(x+1)2+2∫
	2		2	x+1   √1−( )2   2

	1		x+1
∫√4−(x+1)2dx=		(x+1)√4−(x+1)2+2arcsin(		)+C
	2		2

Przy wyższych potęgach trzeba się bawić trygonometrią którą ograniczyli w liceum (za moich czasów było jej więcej) no i jeszcze odwracać podstawienie więc nie będzie najszybszy Lepiej przez części (w przypadku większych potęg można sobie wyprowadzić wzór redukcyjny) Jak ktoś lubi przewidywać to tutaj też można

Mariusz: Co do podstawień Eulera to II albo III Jednak w tym przypadku usunie ono jedynie niewymierność z funkcji podcałkowej nie upraszczając liczenia całki Co innego gdyby całka wyglądała tak ∫√3−2x+x²dx