Dziwne zadanie dla hobbystów matematyki;) dejw: Witam was Mam dziwne zadanie dla Was. Głowię się już trochę, ale żadnego skutku. A dokładniej, piszę program CNC i potrzebuję znać punkty na powierzchni zewnętrznej koła, w ćwiartce zaznaczonej na rysunku. Potrzebował bym wzór na punkty x,y, rozłożonych od siebie o pewną równą odległość, zmieniających się od promienia okręgu. Nie potrzebuję gotowca potrzebne naprowadzenie na trop. pozdrawiam

Godzio: Czyli d masz dane, promień zmienny i chcesz wzorki na punkty (x₁,y₁) i (x₂,y₂) tak?

Godzio: Z nudów coś tam popisałem, mam nadzieję, że o to chodziło, a jak nie o to, to może coś się z tego przyda Ustalamy (x₁,y₁) r = √x₁² + y₁² Rozważmy równanie okręgu o promieniu r i środku (0,0): x² + y² = r² oraz prostą przechodzącą przez punkt okręgu (x₁,y₁) y = ax + b ⇒ y₁ = ax₁ + b ⇒ b = y₁ − ax₁ stąd y = ax + y₁ − ax₁ Rozwiązujemy układ równań prostej i okręgu x² + (ax + y₁ − ax₁)² = r² x² + a²x² + y₁² + a²x₁² + 2axy₁ − 2a²xx₁ − 2ax₁y₁ = r² x²(1 + a²) + x(2ay₁ − 2a²x₁) + y₁² + a²x₁² − 2ax₁y₁ − r² = 0 Δ = (2ay₁ − 2a²x₁)² − 4(1 + a²)(y₁² + a²x₁² − 2ax₁y₁ − r²) = = 4a²y₁² − 8a³x₁y₁ + 4a⁴x₁² − 4(y₁² + a²x₁² − 2ax₁y₁ − r² + a²y₁² + a⁴x₁² − 2a³x₁y₁ − a²r²) = = − 4(y₁² + a²x₁² − 2ax₁y₁ − r² − a²r²) Przypomnijmy, że r = √x₁² + y₁² więc dalej mamy = −4(− 2ax₁y₁ − x₁² − a²y₁²) = 4(x₁ + ay₁)² √Δ = 2(x₁ + ay₁)

	−(2ay1 − 2a2x1) + 2(x1 + ay1)
x' =		=
	2(a2 + 1)

	2a2x1 + 2x1
=		= x1 (spodziewany punkt)
	2(a2 + 1)

	−(2ay1 − 2a2x1) − 2(x1 + ay1)
x'' =		=
	2(a2 + 1)

	a2x1 − x1 − 2ay1
=		= x2
	a2 + 1

A stąd wyliczamy y₂ wstawiając x₂ do równania prostej,

	a2x1 − x1 − 2ay1
y2 = a *		+ y1 − ax1 =
	a2 + 1

	a3x1 − ax1 − 2a2y1 + a2y1 − a3x1 + y1 − ax1
=		=
	a2 + 1

	− 2ax1 − a2y1+ y1
=
	a2 + 1

No dobra, teraz wiemy, że odległość jest stała = d, stąd wyliczymy 'a' P₁(x₁,x₂), P₂(x₂,y₂) d² = |P₁P₂|² (kwadrat ze względu na pierwiastek, prościej) = (x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)² = (*) Najpierw x₁ − x₂

	a2x1 − x1 − 2ay1
x1 −		=
	a2 + 1

a2x1 + x1 − a2x1 + x1 + 2ay1
	=
a2 + 1

2x1 + 2ay1
a2 + 1

Teraz y₁ − y₂

	− 2ax1 − a2y1+ y1
y1 −		=
	a2 + 1

2a2y1 + 2ax1
a2 + 1

Suma kwadratów:

	4(x1 + ay1)2 + 4a2(ay1 + x1)2
(*) =		=
	(a2 + 1)2

	4(x1 + ay1)2(1 + a2)
=		=
	(a2 + 1)2

	4(x1 + ay1)2
=
	a2 + 1

Wiemy, że ta suma kwadratów musi być równa d² 4(x₁² + 2ax₁y₁ + a²y₁²) = a²d² + d² a²(4y₁² − d²) + a * 8x₁y₁ + 4x₁² − d² = 0 a < 0 (bo interesuje nas tylko I ćwiartka i dwa punkty przecięcia) Δ_a = 64x₁²y₁² − 4(4x₁² − d²)(4y₁² − d²) = = 64x₁²y₁² − 4(16x₁²y₁² − 4d²x₁² − 4d²y₁² + d⁴) = = 16d²x₁² + 16d²y₁² − 4d² = 4d²(4x₁² + 4y₁² − 1) √Δ_a = 2d√4x₁² + 4y₁² − 1

	−8x1y1+ 2d√4x12 + 4y12 − 1
a1 =		=
	2(4y12 − d2)

	−4x1y1 + d√4x12 + 4y12 − 1
=
	4y12 − d2

	−8x1y1 − 2d√4x12 + 4y12 − 1
a2 =		=
	2(4y12 − d2)

−4x1y1 − d√4x12 + 4y12 − 1
4y12 − d2

I teraz w zależności od parametrów trzeba wybrać ujemny wynik. Dla uproszczenia, mając już promień, możemy zapisać:

	−4x1y1 + d√4r2 − 1
a1 =
	4y12 − d2

a₂ = ... analogicznie Wstawiając to do punktów x₂ i y₂ dostajesz pełny wzór x₂(x₁,y₁,d) = ... y₂(x₁,y₁,d) = ...

Metis: No Godzio, zaszalałeś

Godzio: Mam jutro egzamin, robię wszystko byle się do niego nie uczyć

kyrtap: Godzio ładna jazdunia

bezendu: Godzio a pokój, mieszkanie posprzątane ?

Metis: Zacznij o pełnej godzinie

bezendu: O to też jest znane i to bardzo dobrze, ale chyba za godzinę zacznę się uczyć lepsze

Godzio: Nie miałem sił na sprzątanie, a pełną godzinę zawsze przeoczam ...

dejw: Dzięki serdeczne! Za niedługo zagłębie się ten Pomysł. Co do tego czy D mam znane, teoretycznie tak. Takich odcinków w półkOlu ma być równa ilość. Tzn to ja wybieram z jakim skokiem, czyli częstotliwością mają pojawiać się punktY. powodzenia na egzaminie

dejw: Dzięki za pomoc udało się to ogarnąć

Godzio: