Czy ∫e^{sinx}dx to e^{sinx}? ołóweczek: Czy ∫e^sinxdx to e^sinx? Czy może e^sinx da się zamienić na coś innego do całkowania?

Janek191: sin x = t

	dt		dt
cos x dx = dt ⇒ dx =		=
	cos x		√ 1 − t2

więc

	et dt
∫ esinx dx =		i teraz całkowanie przez części
	√1 − t2

Mariusz: Teraz to trzeba doprowadzić do znanej całki nieelementarnej

Lorak: Ciekawy problem...zdaje się, że to jest całka nieelementarna (podobnie jak ∫e^x2) czyli pewnie konieczne będzie rozwinięcie funkcji f(x) = e^sinx w szereg Maclaurina i scałkowanie tego szeregu.

ołóweczek: Kurcze... a może ja coś robię źle? Mam to e^sinx jako czynnik całkujący w równaniu różnoczkowym liniowym niejednorodnym, został mi on w P, z którego później liczę całkę po dx.

	1
Dokładniej coś takiego ∫Pdx=∫esinx(ycosx −		sin2x)dx i tu faktycznie trzeba tak
	2

kombinować z tym e^sinx ?

Lorak: No nie wygląda najlepiej ta całka Pokaż to równanie różniczkowe.

ołóweczek:

dy		1
	+ ycosx =		sin2x
dx		2

Lorak: Chyba nie potrafię rozwiązać tego równania. Może ktoś inny radę

Mariusz:

dy		1
	+ycos(x)=		sin(2x)
dx		2

dy
	+ycos(x)=0
dx

dy
	=ycos(x)=0
dx

dy
	=−cos(x)dx
y

ln|y|=−sin(x)+C y=C(x)e^−sin(x) C'(x)e^−sin(x)−C(x)cos(x)e^−sin(x)+C(x)cos(x)e^−sin(x)=cos(x)sin(x) C'(x)e^−sin(x)=cos(x)sin(x) C'(x)=cos(x)sin(x)e^sin(x) C(x)=sin(x)e^sin(x)−∫cos(x)e^sin(x)dx C(x)=(sin(x)−1)e^sin(x)+C₁ y=(sin(x)−1)+C₁e^−sin(x)

ołóweczek: Wszystko fajnie tylko zawsze robiłam tym sposobem z czynnikiem całkującym, więc ten niezbyt rozumiem można prosić o wytłumaczenie ?

J: Po prostu najpierw rownanie jednorodne, potem uzmiennienie stałej

Mariusz: Najpierw rozwiązujesz równanie jednorodne Całka równania jednorodnego jest postaci y(x)=Cy₁(x) Zakładasz że całka szczególna równania niejednorodnego jest postaci y(x)=C₁(x)y₁(x) Po wstawieniu tej postaci lewa strona powinna się zredukować ponieważ y(x)=Cy₁(x) jest całką równania jednorodnego Pomysł można łatwo uogólnić na równania wyższych rzędów Dla wyższych rzędów masz analogicznie też rozwiązujesz najpierw równanie jednorodne aby uzyskać całki szczególne tworzące układ fundamentalny (zbiór wszystkich liniowo niezależnych całek szczególnych równania jednorodnego), też zakładasz że równanie jest postaci y(x)=∑C_k(x)y_k(x) i wstawiasz do równania Ba sposób ten można też uogólnić na niejednorodne układy równań różniczkowych liniowych Czynnika całkującego tak łatwo nie uogólnisz Używa się go zwykle do sprowadzania równań pierwszego rzędu do równania zupełnego Na ogół trudno go znaleźć , jest łatwy do znalezienia tylko w kilku przypadkach szczególnych

b.: Nie do końca rozumiem, co dalej chcesz robić w poście z 19:49, ale masz tam całkę, w której wygodnie podstawia się t=sinx (bo sin2x = 2sinx cosx).

b.: aha, widzę lepiej w poście z 20:06; do scałkowania masz nie e^{sin x}, tylko ¹₂e^{sin x} sin2x, a to się łatwo całkuje (t=sinx)

ołóweczek: Dziękuję Mariusz za wytłumaczenie, chociaż nadal nie rozumiem tej końcówki C'(x)=cos(x)sin(x)esin(x) C(x)=sin(x)esin(x)−∫cos(x)esin(x)dx C(x)=(sin(x)−1)esin(x)+C1 y=(sin(x)−1)+C1e−sin(x) To znaczy za które sinx podstawić t? Czyli, co do metody z całkowaniem nie wyodrębniać e^sinx przed nawias?

	1
Czyli zamiast: ∫esinx(ycos(x) −		sin2x)dx
	2

	1
Napisać: ∫ycos(x) * esinx −		sin2x * esinx dx ?
	2

Wybaczcie, jeśli chaotycznie napisałam

Mariusz: Ja całkowałem przez części u=sin(x) dv=cosxe^sinxdx

b.: Twoje równanie ma postać (e^{sin x} y)' = e^{sin x} sin x cos x, skąd e^{sin x} y = ∫ e^{sin x} sin x cos x dx = ... [t = sin x, itd.]

Mariusz: Tak tyle że tę całkę się liczy przez części

Mariusz: Zdaje się że rozwiązywałem to równanie u Niedoby http://chomikuj.pl/Jacek_Soplica/Dokumenty/R*c3*b3wnania+R*c3*b3*c5*bcniczkowe/Niedoba,4851769161.zip