szereg bezendu: Wyznaczyć szereg Maclaurina funkcji f(x)=xe^−x2 Obliczyć f⁽⁸⁾0 f⁽⁹⁾0 ?

Saizou :

	e−x2
rozwiń taką funkcję −		a potem ją scałkuj
	2

bezendu: a to nie liczyło się pochodnych czasami ?

Saizou : liczyło się, tylko ja trochę inaczej do tego podszedłem, ale można liczyć pochodne

Saizou :

	tn
albo rozwinąć tylko e−x2 i od razu skorzystać z rozwinięcia et=∑n=1∞		, stąd
	n!

mamy

	(−x2)n		x2n+1
f(x)=x•∑n=1∞		=∑n=1∞ (−1)n•
	n!		n!

chyba jakoś tak

Saizou : a masz jakiś wynik do tego ?

bezendu: Nie mam.

Saizou : mnie się wydaje że jest ok i ma to jakiś sens

Saizou : a z tymi pochodnymi było chyba tak, że jak się je liczyło w środku promienia zbieżności to f^(k)(x_o)=C_k*k!

Saizou : tak wiec mielibyśmy:

	(−1)7
f(7)(0)=C7*7!=		•7!=−1
	7!

	(−1)8
f(8)(0)=C88!=		8!=1
	8!

tak mi się wydaje xd

Mila: Pracowicie liczyć pochodne. Zauważysz prawidłowość. Rozwinięcie g(x)=e^−x2

	x2		x4		x6		x2k
g(x)=1−		+		−		+............+(−1)k*
	1		2!		3!		k!

Saizou : czyli tak samo jak ja napisałem

Mila: Ale to nie jest specjalne ułatwienie. Napisałam to rozwinięcie, bo mam gotowe w książce.

bezendu: Dziękuję po raz kolejny za pomoc.

Saizou : ale coś mi z tymi pochodnymi nie pasuje xd

bezendu: ?

Mila: Liczymy tradycyjnie i porównamy z metodą Saizou. f(x)=x*e^−x2 f(0)=0 f'(x)=e^−x2 −2x²*e^−x2 =e^−x2 *(1−2x²) f'(0)=1 f''(x)=−2x*e^−x2 *(1−2x²)+e^−x2 *(−4x)=−2x*e^−x2 *(1−2x²+2)⇔ f''(x)=−2x*e^−x2 *(3−2x²) f''(x)=e^−x2 *(−6x+4x³) (wygodniejsza postać do obliczenia pochodnej) f''(0)=0 f⁽³⁾(x)=−2x*e^−x2 *(−6x+4x³)+e^−x2 *(−6+12x²)= f⁽³⁾(x)=e^−x2 *(12x²−8x⁴−6+12x² f⁽³⁾(x)=e^−x2 *(−8x⁴+24x²−6) f⁽³⁾(0)=−6 f⁽⁴⁾(x)=4x*e^−x2*(4x⁴−20x²+15) f⁽⁴⁾(0)=0 f⁽⁵⁾(x)=−4*e^−x2*(8x⁶−60x⁴+90x²−15) f⁽⁵⁾(0)=60 f⁽⁶⁾(x)=8x*e^−x2*(8x⁶−84x⁴+210x²−105) f⁽⁶⁾(0)=0 f⁽⁷⁾(x)=−8*e^−x2*(16x⁸−224x⁶+840x⁴−840x²+105) f⁽⁷⁾(0)=−840

1

0

−6

0

60

0

f(x)=0+

x+

x2+

x3+

x4+

x5+

x6+

1!

2!

3!

4!

5!

6!

	−840
+		x7....
	7!

	1		−6		60		−840
f(x)=		x+		x3+		x5+		x7....
	1!		3!		5!		7!

Teraz pomyśl, czy mając szereg z 19:20 możesz otrzymać ten szereg, oczywiście posprawdzaj, czy dobrze obliczyłam wartości. Porównaj z wzorem kolegi.

bezendu: Mila !

bezendu: czyli f⁸(0)=0 f⁹(0)=0 liczę pochodną 8 i 9 rzędu ?

b.: post z 18:30 jest prawie poprawny, tylko sumowanie jest od zera,

	f(n)(0) xn
i dalej, szereg Maclaurina jest równy ∑n=0∞		, porównując np. wyrazy
	n!

przy x⁹:

f(9)(0)		(−1)4
	=		(wyraz przy x9 jest właśnie taki...)
9!		4!

bezendu:

	x2
a jeśli mam taki wzór funkcji f(x)=		to ile tych pochodnych mam policzyć ?
	x3+8

Mila: Już nie trzeba f⁽⁹⁾ liczyć, jakaś prawidłowość, po uproszczeniu powinna wyjść, aby ewentualnie stwierdzić zbieżność. f⁽⁹⁾ będzie różne od zera

bezendu: f⁽⁸⁾=0

Mila: W Krysickim liczą 4 albo 5, najwyżej 8 w zależności od funkcji. 21:39 cd

	x3		x5		x7		x9
f(x)=x−		+		−		+		+.... ⇔
	1		2		6		4!

	x3		x5		x7		x9
f(x)=x−		+		−		+		+....+(..) tu trzeba dopisać ogólny wzór
	1!		2!		3!		4!

na końcu

bezendu: a to wiem jak zwinąć bardziej chodziło mi teraz o 22:13 undefined

Mila: W funkcji ;

	x2
f(x)=		będą pochodne naprzemiennie równe 0.
	(x3+8)

bezendu: ale muszę liczyć do 3 pochodnej tak ?

Saizou : możesz też skorzystać z rozwinięcia logarytmu naturalnego dla argumentu x³+8 a potem ten szereg zróżniczkować

bezendu: Wolę pochodne po 24 już tutaj nikgo nie zastanę ?

Mila: Więcej. Trzeba pomyśleć na sposobem.

Mila: Może b.. coś poradzi.

bezendu: Egzamin mam o 14 do 12 porobię zadnia, a potem na egzamin, dobranoc i dziękuję. Wyniki w czwartek będą

Mila: Powodzenia.

b.: To się rozwija w szereg tak:

	x2
f(x) = 18		=18 ∑n=0∞ x2*(−x2/3)n
	1−(−x/2)3

Mila: Genialny b.., a ja wszystko zapomniałam.