rr biedny student: Napisać wzór Taylora z resztą Rn (n≥3) dla funkcji f(x,y)=ln(1+x+y). Jak to zrobic jak nie mam podanego punktu, w zależnosci od ktoego mam napisać wzór ?

biedny student: Δ

Godzio: A umiesz rozwinąć logarytm dla funkcji jednej zmiennej?

Godzio: Coś takiego:

∂f		1
	=
∂x		1 + x + y

∂2f		1
	= −
∂x2		(1 + x + y)2

∂3f		2
	=
∂x3		(1 + x + y)3

...

∂nf		(n−1)!
	= (−1)n+1
∂xn		(1 + x + y)n

Analogicznie

∂nf		(n−1)!
	= (−1)n+1
∂yn		(1 + x + y)n

Mieszane:

∂nf		(n−1)!
	= (−1)n+1		, k + m = n
∂yk∂xm		(1 + x + y)n

No to zapisujemy, rozwijamy względem dowolnego punktu (x₀,y₀)

	1
f(x,y) = ln(1 + x + y) = ln(1 + x0 + y0) +		(x − x0) +
	1 + x0 + y0

1		1
	(y − y0) −		(x − x0)2 −
1 + x0 + y0		2!(1 + x0 + y0)2

1		1
	(y − y0)2 −		(x − x0)(y − y0) + ...
2!(1 + x0 + y0)2		2!(1 + x0 + y0)2

	(n−1)!
... (−1)n+1		(x − x0)n +
	n!(1 + x0 + y0)n

	(n−1)!
(−1)n+1		(x − y0)n + Rn
	n!(1 + x0 + y0)n