Rozwiąż różniczkę Mrs: hej czy wie ktoś jak rozwiązać taką różniczkę: x²y''−2xy'+2y=x⁵*lnx Proszę bardzo o pełne rozwiązanie/

Mariusz: Równanie Eulera Podstawienie x=e^t sprowadzi równanie do równania o stałych współczynnikach

Mariusz: x=e^t

dx
	=et
dt

dt
	=e−t
dx

dy		dy	dt
	=
dx		dt	dx

dy		dy
	=		e−t
dx		dt

d2y		d		dy
	=		(		e−t)
dx2		dx		dt

d2y		d		dy		dt
	=		(		e−t)
dx2		dt		dt		dx

d2y		d		dy
	=		(		e−t)e−t
dx2		dt		dt

d2y		d2y		dy
	=(		e−t−		e−t)e−t
dx2		dt2		dt

d2y		d2y		dy
	=e−2t(		−		)
dx2		dt2		dt

d2y		dy		dy
	−		−2		+2y=te5t
dt2		dt		dt

d2y		dy
	−3		+2yte5t
dt2		dt

y=e^λt y'=λe^λt y''=λ²e^λt (λ²−3λ+2)e^λt=0 (λ²−3λ+2)=0 (λ−1)(λ−2)=0 y_s=C₁(t)e^t+C₂(t)e^2t Innym sposobem jest zaobserwowanie że y₁=x jest całką szczególną równania jednorodnego i obniżenie rzędu równania podstawieniem y(x)=x∫u(x)dx

Mariusz: x²y''−2xy'+2y=x⁵lnx y(x)=x∫u(x)dx y'(x)=∫u(x)dx+xu(x) y''(x)=u(x)+u(x)+xu'(x) y''(x)=2u(x)+xu'(x) x²(2u(x)+xu'(x))−2x(∫u(x)dx+xu(x))+2x∫u(x)dx=x⁵lnx x³u'(x)+2x²u(x)−2x²u(x)−2x∫u(x)dx+2x∫u(x)dx=x⁵lnx x³u'(x)=x⁵lnx u'(x)=x²lnx

	x3		x3		1
u(x)=		lnx−∫		*		dx
	3		3		x

	x3		1
u(x)=		lnx−		∫x2dx
	3		3

	x3		1
u(x)=		lnx−		x3+C
	3		9

	1
u(x)=		x3(3ln|x|−1)+C
	9

	1		1		x4	3
∫u(x)=		x4(3ln|x|−1)−		∫			dx+C1x
	36		9		4	x

	1		1
∫u(x)=		x4(3ln|x|−1)−		∫x3dx+C1x
	36		12

	1		1
∫u(x)=		x4(3ln|x|−1)−		x4+C2+C1x
	36		48

	1
∫u(x)=		x4(12ln|x|−4−3)+C2+C1x
	144

	1
∫u(x)=		x4(12ln|x|−7)+C2+C1x
	144

	1
y(x)=x(		x4(12ln|x|−7)+C2+C1x)
	144

	1
y(x)=		x5(12ln|x|−7)+C1x2+C2x
	144