całka azeta: mam taką całkę

	x−1
∫		dx
	3√x+1

rozpisuję ją tak:

	x+1		1
∫		dx−2∫		dx, przez podstawienie t=x+1, ale dalej mi wychodzi inny
	3√x+1		3√x+1

wynik niz w odpowiedziach :x

Janek191: t = x + 1 ⇒ dt = dx

	x + 1		1
∫		dx − 2 ∫		dx =
	3√x + 1		3√x + 1

	t dt		dt
= ∫		− 2 ∫		= ∫ t23 dt − 2 ∫ t−13 dt =
	3√ t		3√ t

azeta:

	3
tak też zrobiłem Janku, jednak w odpowiedziach mam:		(x−4)3√(x+1)2, wolfram w sumie
	5

podaje taka sama odpowiedz− nie wiem co jest nie tak

henrys:

tt2\3		t2\3		3		3
	−2*		=(		(x+1)−3)(x+1)2\3=		(x+1−5)(x+1)2\3=
5\3		2\3		5		5

Janek191: Mnie wyszło to samo. Może jest błąd w odpowiedzi ?

ZKS:

3		3
	t5/3 − 3t2/3 + C =		t2/3(t − 5) + C
5		5

henrys: Wszystko jest ok

azeta: mhm, czyli to po prostu przekształcenia jak bede mial jeszcze z czyms problem to bede tutaj wrzucal dzieki!

azeta: a taka:

	1   e   x		1
∫		dx		jest w potędze, takiej całki nie wiem jak ugryźć, notabene liczę
	x2		x

swoje pierwsze całki

ICSP:

	1
Podstawienie t =
	x

J:

	dx
−		= dt
	x2

azeta: ehh pomyliło mi się.. tak zacząłem ale napisalem że dt=ln|x|dx, pokiełbasiło się

azeta:

	1
∫		dx, całka wydaje się dla mnie jakaś nieskomplikowana podstawienie t=ex nasuwa
	ex+e−x

się od razu, jednak po zróżniczkowaniu wychodzi dt=e^xdx, i jakoś nie wychodzi mi całe to podstawienie.. mógłby ktoś mnie naprowadzić?

J: Pomnoz licznik i mianownik przez e^x potem podstawieni t = e^x

azeta: ehh czasami takie proste rozwiązania przychodzą najtrudniej

azeta:

	1
∫		dx hm no widzę tutaj jakąś pochodną ln|x|.. ale jest ln2|x| , jak to
	x√1−ln2|x|

ruszyc? przez częsci na pewno?

J:

	1
podstawienie: lnx = t ,		dx = dt
	x

J: formalnie napisz: lnIxI = t

Mariusz: arcsin(ln|x|)+C

azeta: dzięki, a (ln|arctgx|)' kurcze nie moge sobie poradzic z taką pochodną... mogłbym mi to ktos rozpisac ?

azeta: ogolnie jakos pochodna logarytmu ln mi nie idzie, jest jakiś wzór ogólny na pochodną (lnⁿ|f(x)|)', próbuję sobie jakos to wyobrazic no i nic ;x

Mila:

	1		1		1
(ln(arctgx))'=		*(arctg(x))'=		*
	arctgx		arctg(x)		1+x2

azeta: hmm mam pewną całkę, musze nad nią troche posiedziec− jak bede mial chwile to wrzuce rozwiaznaie dzieki Mila!

azeta: no jednak nie daje rady

	ln|arctgx|dx
∫		, widzę tutaj pochodną arctgx ale nic poza tym
	1+x2

azeta: t=arctgx

	1
dt=		dx?
	1+x2

∫ln|t|dt, aha i przez części?

azeta:

	1
i teraz ∫ln|t|dt. to jest t*ln|t|−∫t*		dt=tln|t|−t tak, ehh
	t

J: Tak ...... + C

azeta: a taka: ∫x*e^x2(x²+1)dx robię podstawienie t=x²

1
	dt=xdx
2

	1
czyli		∫et(t2+1)dt i tutaj troszeczkę się gubię, bo pewnie przez części teraz, ale
	2

kurczę nie widzę :C sory że ja tak cały czas pytam, czasami będąc samoukiem ociupinkę trudno

J: Najpierw rozbij na dwie calki

azeta:

1		1
	∫tetdt+		∫etdt, calkowanie przez czesci mi jeszcze troche nie idzie
2		2

J: Tam ma byc t² ... dwukrotnie przez czesci v' = e^t

azeta: hmm nie widzę tego t² tam, dzięki J, teraz musze leciec ale wroce do tej calki jeszcze

J: sorry... e^t i raz przez czesci

J: nie....ma byc t²

azeta: hmm chwila minęła jednak dalej nie mogę dojść do rozwiązania tej całki: ∫xe^x2(x²+1)dx

J: Patrz 12:02 ..tylko w pirwszej calce ma byc e^t*t²

J: sorry...jest dobrze...e^t*t

azeta: no tak.. w sumie sam wprowadzilem to zamieszanie spróbuje dojsc do konca i wrzuce rozw

azeta: czyli po podstawieniu jest

1		1		1		1		1		1
	∫et(t+1)=		∫tetdt+		∫etdt=		(t*et)−		∫etdt+		∫etdt=
2		2		2		2		2		2

	1		1
		tet=		x2ex2+C
	2		2

czemu to wydawało sie takie trudne a bylo takie proste xd?

azeta: ehh

azeta: a czy taką całkę" ∫x⁴(1+x)³dx da się rozwiązać jakoś "sprytniej" niż przez wymnażanie i ze wzoru na

	xn+1
∫xndx=		?
	n+1

RJS: Pierwsza myśl to przez części.

azeta: faktycznie, dzięki

azeta: ∫e^x*cosxdx=? przez części, mógłby ktoś mi to rozpisać?

henrys: u=e^x, v'=cosx u'=e^x, v=sinx ∫e^xcosxdx=e^xsinx−∫e^xsinxdx= u=e^x, v'=sinx u'=e^x, v=−cosx ∫e^xcosxdx=e^xsinx+e^xcosx−∫e^xcosxdx 2∫e^xcosxdx=e^xsinx+e^xcosx

	1
∫excosxdx=		ex(sinx+cosx)
	2

azeta: hmm całka potraktowana jako "równanie", rozumiem. ciekawe, dzięki a tutaj kolejna całka:

	ln2|x|
∫		dx
	x5

przez części, prawda? w sumie chyba każdą całkę postaci ∫xⁿ*ln^m|x|dx liczy się przez części, mam rację ? oczywiście o odpowiednich n i m

J: tak ... i w tym konkretnym przypadku wystarczy dwukrotnie przez części

	ln2IxI		lnIxI		1
wynik: −		−		−		+ C
	4x4		8x4		32x4

azeta: a taka całka:

	x+1
∫		dx
	x2−x+1

rozwiązuję ją w ten sposób, lecz później się gubię

	1		2x−1		3		1
=		∫		dx+		∫		dx=....
	2		x2−x+1		2		x2−x+1

azeta:

	1		3
ta druga całka to jakoś próbowałem podstawiać.. , mianownik to (x−		)2+		ale nic mi
	2		4

to nie daje

azeta: ależ oczywiście... zapomniałem że to podstawienie wygląda trochę inaczej xd

J:

	dx		2		2x − 1
druga całka: = ∫		=		arctg(		)
	1   √3   (x− )2 +( )2   2   2		√3		√3

	dx		1		x
korzystasz ze wzoru: ∫		=		arctg		+ C
	x2 + a2		a		a

J:

	1		2x−1
ostateczny wynik:		lnIx2−x+1I + √3arctg(		) + C
	2		√3

azeta: tak tak, dzięki J ja zawsze korzystam przy takiej całce gdy jest w mianowniku trójmian i Δ<0, postać kanoniczna i podstawienie: x−p=√qt, ale wychodzi w rezultacie na to samo.

azeta: wracając do całek:

	3x2−5x+2		3x2−5x+2
∫		dx=∫		dx
	x3−2x2+3x−6		(x−2)(x2+3)

i teraz rozkładam: 3x²−5x+2=a(x²+3)+b(x−2) "a" wychodzi od razu bo podstawiam x=2 ale co z b? na liczbach zespolonych znam się nie za bardzo ale na czuja widzę, że x²+3 ma pierwiastki x=i√3 i x=−i√3, ale jednak podstawiając x=i√3 nie wychodzi mi z tego nic

azeta: hmm juz widzę, źle rozkładam− prawda? zawsze miałem takie całki gdzie zawsze były a(x−x₁) itd teraz moje pytanie, dlaczego tam powinno być

	ax+b		c
U{3x2−5x+2}{x3−2x2+3x−6)=		+
	x2+3		x−2

czy jak pojawia się w rozkładzie ax²+bx+c w mianowniku o Δ<0 to w liczniku pojawia się gx+f?

Mila:

3x2−5x+2		Ax+B		C
	=		+		⇔
(x2+3)*(x−2)		x2+3		x−2

3x²−5x+2=(Ax+B)*(x−2)+C*(x²+3)⇔ x=0⇔−2B+3C=2

	4
x=2⇔C*(4+3)=3*4−5*2+2⇔7C=4⇔C=
	7

	4		2
−2B+3*		=2⇔−2B=
	7		7

	1
B=−
	7

	1		4
x=1⇔(A+B)*(−1)+4C=0⇔(A−		)*(−1)+4*		=0
	7		7

	1		16
A−		=
	7		7

	17
A=
	7

3x2−5x+2		17x−1		4
	=		+
(x2+3)*(x−2)		7*(x2+3)		7*(x−2)

=========================== Albo tak: 3x²−5x+2=Ax²−2Ax+Bx−2B+Cx²+3C⇔ 3x²−5x+2=(A+C)x²+x*(−2A+B)+3C−2B⇔ A+C=3 −2A+B=−5 −2B+3C=2 ======== 2A+2C=6 −2A+B=−5 +−−−−−−−−−−−−⇔B+2C=1 i −2B+3C=2 2B+4C=2 −2B+3C=2

	4
+−−−−−−−−−−⇔C=
	7

	4
A+		=3
	7

	21		4
A=		−
	7		7

	17
A=
	7

	17
B=−5+2*
	7

	1
B=−
	7

=======

azeta: dziękuję Mila

Mila: Załóż nowy wątek.