POMOCY R: Bardzo proszę o pomoc ! Podaj wymiary trójkąta prostokątnego o polu 8 i najkrótszej możliwej przeciwprostokątnej.

ICSP: pewnie 4 , 4 , 4√2 chociaz "wymiary trójkąta" brzmi troszkę dziwnie

R: tak było w zadaniu xd a można trochę jaśniej jak to ogarnęłaś/eś?

J: To zadanie bylo wczoraj

ICSP: Oznaczmy : a , b − przyprostokątne c − przeciwprostokątna Potrzebujemy dwóch równań które będą opisywały zależność między a,b,c. Wymyśl je, a przynajmniej jedno

R: 1/2ab=8 a²+b²=c² ?

J: Tak teraz utworz funkcje c(a) i szukaj minimum

ICSP: Określone dla a,b,c > 0

	16
z pierwszego równania wyznaczając b łatwo dostajemy : b =
	a

Wstawiając to do drugiego równania :

	162
c2 = a2 +
	a2

skąd c = √... Szukamy takie wartości a dla której c będzie najmniejsze. Ponieważ pierwiastek jest funkcją różnowartością to nasze zadanie sprowadza sie do znalezienia najmniejszej wartości funkcji :

	162
g(a) = a2 +
	a2

Z nierówności Cauchego dla średnich dostajemy :

162   a2 +   a2
	≥ √162 = 16
2

	162
Przy czym jak wiemy równość zachodzi wyłącznie gdy a2 =		⇒ a = 4
	a2

	16
a = 4 , b =		= 4 , c = √a2 + 162/a2 = √16 + 16 = √32 = 4√2
	a

R: takie buty ! dzięki wielkie za pomoc

PW: Widzę pewien przestrach w komentarzu "takie buty", więc zaproponuję bardziej "szkolną" metodę. Przy standardowych oznaczeniach a, b dla przyprostokątnych i c dla przeciwprostokatnej mamy: a = c·sinα, b = c·cosα, gdzie α oznacza kąt leżący naprzeciw boku a. Po wymnożeniu stronami tych równości dostajemy a·b = c² sinα cosα, skąd

	1		1
		ab =		c2sinαcosα
	2		2

	1
8 =		c22sinαcosα
	4

32 = c²sin(2α). Wielkości dodatnie c² i sin(2α) są odwrotnie proporcjonalne (ich iloczyn jest wielkością stałą), co oznacza że c² jest najmniejsza z możliwych (a więc i c jest najmniejsza z możliwych), gdy sin(2α) jest największa. Ma to miejsce, gdy sin(2α) = 1, to znaczy gdy 2α = 90° α = 45°. Trójkąt spełniający warunki zadania jest zatem trójkątem o równych przyprostokątnych, skąd a = b = 4.