ekstrema wiola: Zbadaj czy funkcja f (x, y)=x²+y⁴−4xy+12 ma ekstremum lokalne w punkcie (1,1)

Janek191: f_x(x,y) = 2 x − 4y f_y(x,y) = 4 y³ − 4 x 2 x − 4 y = 0 ⇒ x = 2 y 4 y³ − 4*2y = 0 4 y³ − 8 y = 0 4 y*( y² − 2) = 0 4 y*( y − √2)*( y +√2) = 0 y = 0 lub y = − √2 lub y = √2 x = 0 lub y = − 2√2 lub x = 2√2 A = (0,0), B = ( − 2√2, −√2) , C = ( 2√2 , √2) − punkty stacjonarne

PW: Pytanie nie narzucało konieczności stosowania zaawansowanych środków, spróbujmy więc odpowiedzieć sposobem elementarnym. Wartość funkcji dla (x₀, y₀) = (1, 1) jest równa f(1, 1) = 1² + 1⁴ − 4·1·1 + 12 = 10. Zbadajmy jak zachowuje się funkcja w otoczeniu punktu (1, 1) biorąc dowolne (1+u, 1), u∊R. Wartości funkcji dla takich punktów są równe (1+u)² + 1⁴ − 4(1+u)·1 + 12 = 1 + 2u + u² + 1 − 4 − 4u + 12 = 10 + u² − 2u. Funkcja kwadratowa h(u) = u² − 2u, u∊R osiąga w dostatecznie małym otoczeniu u₀ = 0 zarówno wartości ujemne jak i dodatnie. Oznacza to, że w pewnym otoczeniu punktu (1, 1) badana funkcja f osiąga zarówno wartości większe od 10 jak i wartości mniejsze od 10. W punkcie (1, 1) funkcja f nie ma więc ekstremum.