rownania rożniczkowe KLAUDIA: y''−y=e^x y(0)=1 y'(0)=0

J: y' = u u' − u = e^x / * e^−x e^−x*u' − e^−x*u = 1 (e^−x*u)' = 1 ⇔ e^−x = x + C ⇔ y' = x*e^x + C*e^x ... i całkujesz jeszcze raz , aby obliczyć y

J: ostatnia linijka ...(e^−x*u)' = 1 ⇔ e^−x*u = x + C ⇔ y' = x*e^x + C*e^x ...

J: wczesniej z warunku brzegowego możesz policzyć stałą C

Mariusz:

	1
s2Y(s)−s−Y(s)=
	s−1

	1
(s2−1)Y(s)=s+
	s−1

	s2−s+1
Y(s)=
	(s−1)2(s+1)

	A		B		C
Y(s)=		+		+
	s−1		(s−1)2		s+1

A(s²−1)+B(s+1)+C(s²−2s+1)=s²−s+1 (A+C)s²+(B−2C)s−A+B+C=s²−s+1 A+C=1 B−2C=−1 −A+B+C=1 B+2C=2 B−2C=−1

	1
B=
	2

1
	−2C=−1
2

	3
−2C=−
	2

	3
C=
	4

	1
A=
	4

	1
A=
	4

	1
B=
	2

	3
C=
	4

	1	1		1	1		3	1
Y(s)=			+			+
	4	s−1		2	(s−1)2		4	s+1

	1		1		3
Y(s)=		et+		tet+		e−t
	4		2		4

	1		3
Y(s)=		(2t+1)et+		e−t
	4		4

J: to podstawienie nie działa

Mariusz: J: jeśli chcesz ogólnie to musisz jakoś rozwiązać równanie jednorodne (dla stałych współczynników najlepsze jest podstawienie y=e^λt) Zakładasz że całka szczególna równania niejednorodnego jest postaci y_s=C₁(t)y₁(t)+C₂(t)y₂(t) gdzie y₁(t) oraz y₂(t) to dwie liniowo niezależne całki szczególne równania jednorodnego Wstawiasz do równania i przekształcasz w układ równań który rozwiązujesz jak układ równań liniowych Na koniec rozwiązanie tego układu odcałkowujesz

Mariusz: Po podstawieniu y=e^λt w równaniu jednorodnym dostajesz równanie wielomianowe Przypuśćmy że λ jest k krotnym pierwiastkiem tego równania wielomianowego Jeżeli współczynniki przy kolejnych pochodnych są rzeczywiste to zespolone pierwiastki tego równania wielomianowego występują w parach wzajemnie sprzężonych Jeżeli λ∊R to całkę szczególną równania jest e^λtP(t) Jeżeli λ∊C⋀ λ∉R to całkami szczególnymi są Re(e^λt)P(t) oraz Im(e^λt)P(t)

	dk
gdzie		P(t)=0
	dtk

J: Otoz dziala .... y = e^x(x − 1) + 2

J: Nie wypisuj elaboratòw, tylko pokaż,że Twoje rozwiązanie działa.bo obawiam się,że nie

Mariusz: Nie wierzysz to sprawdź Twoje rozwiązanie działałoby gdyby Klaudia miała równanie y''+y'=e^x To że się ze mną nie zgadzasz nie zmieni tego że to mój wynik jest poprawny jeśli zaniedbać spostrzeżenia które podałem później Użyłem Laplace bo warunki początkowe idealnie pasują , jest to równanie o stałych współczynnikach no i prawa strona jest odpowiednia ale ogólnie na niejednorodne lepiej jest użyć uzmienniania stałych o ile umiemy rozwiązać równanie jednorodne Może jest parę literówek Zmienną niezależną jest x a nie t , W dwóch ostatnich linijkach powinno być y(t) a nie Y(s) ale trochę się spieszyłem

J: Jesli twierdzisz, że moje rozwiązanie jest złe, to masz chyba problem z liczeniem pochodnych

Mariusz: y''−y=e^x y'=u u'−u=e^x skąd ci się wzięło u skoro w oryginalnym równaniu nie masz pierwszej pochodnej Poza tym to ty masz problemy z liczeniem pochodnych bejbe skoro nie chciałeś sprawdzić mojego rozwiązania y=e^x(x−1)+2 y(0)=1*(0−1)+2=−1+2=1

dy
	=ex(x−1)+ex
dx

dy
	=xex
dx

dy
	(0)=0
dx

d2
	=ex+xex
dx2

d2
	=ex(x+1)
dx2

e^x(x+1)−(e^x(x−1)+2)=e^x((x+1)−(x−1))−2 =2e^x−2 Ja sprawdziłem twoje rozwiązanie a teraz ty sprawdź moje skoro nie wierzysz że moje jest błędne

Mariusz: skoro twierdzisz że moje jest błędne

J: y = e^x(x−1) y' = xe^x y" = xe^x + e^x sprawdzamy xe^x + e^x − xe^x = e^x ...i po temacie

Mariusz: ale tam w równaniu nie masz y''−y'=e^x tylko y''−y=e^x J: ślepy jesteś czy głupi

Mariusz: chyba to drugie

Mariusz: Klaudia straciła zainteresowanie tematem i przez ciebie jej nie zaliczą Dumny jesteś z siebie

Metis: Mariusz spokojnie...

Mariusz: Metis ciekawy jestem dlaczego twierdzi że dobrze rozwiązał skoro mu pokazałem że jednak rozwiązał źle , pokazałem mu gdzie popełnił błąd a gdy napisałem jak to najlepiej rozwiązywać to nazwał to "elaboratem" Twierdzi że źle rozwiązałem mimo iż tego rozwiązania nie sprawdził

Mariusz: Można też przekształcić to równanie w układ równań y'=u y'=u u'=y+e^x i teraz macierz , wartości i wektory własne , uzmiennianie stałych i wstawienie wartości początkowych w celu obliczenia stałych Przekształcanie równania różniczkowego wyższego rzędu układ równań pierwszego rzędu jest popularne w metodach numerycznych

J: Spier....liłem to na samym początku ... sorry ... wycofuję wszystkie posty

Mariusz: Pierwszy raz ci pokazałem gdzie popełniłeś błąd 27 czerwca 04:56 później powtórzyłem 27 czerwca 21:22 Pokażę jeszcze metodę uzmienniania stałych bo jest ona dość ogólna i sprowadza ona problem całkowania równań liniowych do całkowania równań liniowych jednorodnych y''−y=e^x y=e^{λ x} y'=λe^{λ x} y''=λ²e^{λ x} λ²e^{λ x}−e^{λ x}=0 λ²−1=0 (λ−1)(λ+1)=0 λ₁=1 λ₂=−1 y₁(x)=e^x y₂(x)=e^−x y_s(x)=C₁(x)e^x+C₂(x)e^−x y_s'(x)=C₁'(x)e^x+C₁(x)e^x+C₂'(x)e^−x−C₂(x)e^−x y_s''(x)=C₁''(x)e^x+C₁'(x)e^x+C₁'(x)e^x+C₁(x)e^x +C₂''(x)e^−x−C₂'(x)e^−x−(C₂'(x)e^−x−C₂(x)e^−x) y_s''(x)=C₁''(x)e^x+2C₁'(x)e^x+C₁(x)e^x+ C₂''(x)e^−x−2C₂'(x)e^−x+C₂(x)e^−x y_s''(x)−y_s=C₁''(x)e^x+2C₁'(x)e^x+C₁(x)e^x+ C₂''(x)e^−x−2C₂'(x)e^−x+C₂(x)e^−x−(C₁(x)e^x+C₂(x)e^−x)=e^x C₁''(x)e^x+2C₁'(x)e^x+C₂''(x)e^−x−2C₂'(x)e^−x=e^x (C₁'(x)e^x)'=C₁''(x)e^x+C₁'(x)e^x (C₂'(x)e^−x)'=C₂''(x)e^−x−C₂'(x)e^−x (C₁''(x)e^x+C₁'(x)e^x)+C₁'(x)e^x+(C₂''(x)e^−x−C₂'(x)e ^−x)−C₂'(x)e^−x=e^x (C₁''(x)e^x+C₁'(x)e^x)+(C₂''(x)e^−x−C₂'(x)e^−x)+C₁'(x )e^x−C₂'(x)e^−x=e^x (C₁'(x)e^x+C₂'(x)e^−x)'+C₁'(x)e^x−C₂'(x)e^−x=e^x C₁'(x)e^x+C₂'(x)e^−x=0 C₁'(x)e^x−C₂'(x)e^−x=e^x C₂'(x)e^−x=−C₁'(x)e^x C₁'(x)e^x−(−C₁'(x)e^x)=e^x 2C₁'(x)e^x=e^x

	1
C1'(x)=
	2

	1
C1(x)=		x
	2

	1
C2'(x)=−		e2x
	2

	1
C2(x)=−		e2x
	4

	1		1
ys(x)=		xex−		ex
	2		4

	1		1
y(x)=		xex−		ex+C1ex+C2e−x
	2		4

	1		1		1
y'(x)=		ex+		xex−		ex+C1ex−C2e−x
	2		2		4

y(0)=1 y'(0)=0

1		1
	*0*1−		*1+C1+C2=1
2		4

1		1		1
	*1+		*0*1−		*1+C1−C2=0
2		2		4

	5
C1+C2=
	4

	1
C1−C2=−
	4

2C₁=1

	1
C1=
	2

	5		1		3
C2=		−		=
	4		2		4

	1		1		1		3
y(x)=		xex−		ex+		ex+		e−x
	2		4		2		4

	1		3
y(x)=		(2x+1)ex+		e−x
	4		4

Dziadek Mróz: Zamykam