całka całkojad: znajdz całke ogolnego równania y' −2*y/x=4x spełniający warunek punktowy f(1)=3

52: a jakie metody znasz ?

całkojad: 52 − akurat w tym zadnaiu pomagam koledze no, potrzebowal bym rozwiazania...

J: to powiedz koledze,żeby zapomniał o równaniu : y" + y = e^x , bo liczenia jest od cholery , a i tak pewnie by nic z tego nie zrozumiał

J: tutaj masz równanie liniowe niejednorodne..

	2
najpierw rozwiąż równanie jednorodne : y' −		y = 0
	x

całkojad: J, a chocoiaz pierwsza czesc? zeby jakies punkty za to zawsze wpadly ?

J: rozdzielasz zmienne ..:

dy		2y		dy		dx
	=		⇔		=		... i całkujesz obustronnie
dx		x		2y		x

Mariusz:

	y
y'−2		=0
	x

	y
y'=2
	x

dy
	=2xdx
y

y=C(x)x² Dla rzędów większych niż jeden masz podobnie tyle że zakładasz że całka szczególna równania niejednorodnego jest postaci ∑C_k(t)y_k(t)

52: Jak znasz transformatę Laplace'a to tym możesz to zrobić

J:

	dy		2dx
@ Marisz ...		=
	y		x

52: Sory, Laplace'a odpada ...

Mariusz: J zgadza się Laplacem może tyle że musi pamiętać aby za warunki początkowe przyjąć stałe

J: ...teraz tak Ci napisał Mariusz ... y = C(x)x²

	4
... uzmienniasz stałą .... i dochodzisz do równania: C'(x)*x2 = 4x ⇔ C'(x) =
	x

i całkujesz obustronnienaby obliczyć: C(x)

52: warunek początkowy musiałby być y(0)=coś a tam ma y(1) to nie da rady

Mariusz: J: jeśli chodzi o równania drugiego rzędu to podobnie jak w równaniu pierwszego rzędu możesz założyć że całka szczególna równania niejednorodnego jest postaci y_s=C₁(x)y₁(x)+C₂(x)y₂(x) Problem polega na rozwiązaniu równania jednorodnego Dla równania o stałych współczynnikach działa podstawienie y=e^λx Czasami da się do równania o stałych współczynnikach dane równanie sprowadzić np równanie Eulera x=e^t (zamiana zmiennej niezależnej) Jeżeli uda się zgadnąć całkę szczególną to można skorzystać z obniżania rzędu y=y₁(t)∫u(t)dt albo ze wzoru Liouville

Mariusz: 52 a przyjmij sobie y₀=C , oczywiście nie jest to tak efektywne jak by miał podane na starcie y₀= ale da się

52: O to mi chodziło

Mariusz:

	1
Chociaż problemem może być transformata
	x

	Γ(α+1)
Transformata potęgi to
	s(α+1)

a ile wynosi Γ(0) za to te drugie równanie da się transformatą Laplace policzyć

Mariusz: Poza tym przy transformacie Laplace zachodzi liniowość ale nie jest multiplikatywna więc nadaje się do równania o stałych współczynnikach

Mariusz: y''+y+e^x

	1
s2Y(s)−sC1−C2+Y(s)=
	s−1

	1
(s2+1)Y(s)=C1s+C2+
	s−1

	s		1		1
Y(s)=C1		+C2		+
	s2+1		s2+1		(s−1)(s2+1)

	s		1		1	(s2+1)−(s2−1)
Y(s)=C1		+C2		+
	s2+1		s2+1		2	(s−1)(s2+1)

	s		1		1	1		1	s+1
Y(s)=C1		+C2		+			−
	s2+1		s2+1		2	s−1		2	s2+1

	1		s		1		1		1	1
Y(s)=(C1−		)		+(C2−		)		+
	2		s2+1		2		s2+1		2	s−1

	1
y(x)=C1cos(x)+C2sin(x)+		ex
	2

Jednak byłbym sceptyczny co do używania transformaty Laplace do równania o zmiennych współczynnikach