Udowodnij Kamil: W trójkącie ostrokątym ABC poprowadzono wysokości AM i BN. Ponadto wiadomo, że kąt ACB ma miarę 60 stopni. Udowodnij, że MNP jest równoboczny, gdzie P jest środkiem boku AB.

anaisy: Niech X będzie punktem przecięcia AM i BN oraz ∡BAM=β i ∡ABN=α. Mamy ∡ANB=∡AMB=90[deg](1), skąd w czworokącie XNCM mamy ∡MXN=180[deg]−∡NCM=120[deg]. Ponadto w trójkącie ABX zachodzi 120[deg]=∡BXA=180[deg]−∡BAX−∡ABX, skąd α+β=60[deg](2). Ponadto z wniosku (1) wynika, że punkty A, N, M, B leżą na okręgu o środku P, zatem z tw. o kącie środkowym i wpisanym mamy ∡BPM=2∡BAM=2α i analogicznie ∡APN=2β. Stąd z wniosku (2) mamy ∡MPN=60[deg], natomiast z (1) wynika, że MP=PN, c.k.d.