Diagonalizacja macierzy Przemysław: Dobry wieczór! Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś mi pokazał jak zdiagonalizować macierz:

1 0 2 1

Godzio: A gdzie jest problem?

Przemysław: No to tak: Wartość własna wychodzi mi 1.

	0 y
Wektor własny postaci:

	0 1
Znormalizowany:

	0 0 1 1
Macierz podobna (np. C) to jakoś:

	0 1 0 1
CT=

No i po przemnożeniu:

	1 0 2 1
CT		C

mam

1 1 1 1

to tak nie bardzo diagonalne mi wyszło

Godzio: Bo wyszedł Ci jeden wektor własny, macierz nie jest diagonalizowalna, można znaleźć jedynie postać Jordana, ale to nie to samo

Przemysław: O_o No ładnie. Tak przykład z głowy wymyśliłem, to ładnie trafiłem. Nawet nie wiedziałem, że tak może być

Przemysław: W każdym razie dziękuję!

Godzio:

Mariusz: Pokazałbyś jak znajdować rozkład Jordana macierzy ? Jeżeli mamy tyle liniowo niezależnych wektorów własnych co odpowiadających im wartości własnych (licząc z krotnościami) to rozkład Jordana pokrywa się z diagonalizacją Można ograniczyć się do znajdowania macierzy przejścia w przypadku gdy macierz nie jest diagonalizowalna

Benny: https://www.wolframalpha.com/input/?i=jordan+decomposition+%7B%7B1,0%7D,%7B2,1%7D%7D

Mariusz: Tak ale chciałbym wiedzieć jak to wam wykładali Benny tobie już wkrótce ten rozkład będzie przydatny do rozwiązywania układów równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Z diagonalizacją sobie poradzę więc wystarczy mi przypadek gdy macierz nie jest diagonalizowalna Do rozkładu wystarczy mi sposób znajdowania macierzy przejścia

Mariusz: Jeżeli chodzi o układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach to w skryptach które czytałem wyróżnione są trzy przypadki 1. Różne wartości własne rzeczywiste Dla każdej wartości własnej wyznaczamy odpowiadające im wektory własne Liniowo niezależnych wektorów własnych jest wystarczająco dużo aby podać rozwiązanie ogólne układu które jest kombinacją liniową rozwiązań szczególnych układu postaci e^λ_ktv_k 2. Różne wartości własne zespolone Jeżeli macierz układu ma elementy rzeczywiste to wartości własne są parami sprzężone Wystarczy wziąć tylko jedną wartość własną z takiej pary i dla niej policzyć wektory własne Po oddzieleniu części rzeczywistej od urojonej otrzymujemy dwa liniowo niezależne rozwiązania układu Re(e^λ_ktv_k), Im(e^λ_ktv_k) są rozwiązaniami szczególnymi układu 3. Wartości własne wielokrotne Tutaj wprowadzano coś takiego jak uogólniony wektor własny (A−λI)^kv=0 gdzie k to krotność wartości własnej λ e^Atv=e^{λt+(A−λI)t}v=e^λte^(A−λI)tv Wiedząc że (A−λI)^kv=0 nie musimy już sumować do nieskończoności aby obliczyć e^(A−λI)tv