równanie różniczkowe Szymon: Mam równanie różniczkowe: xy,+y=y2 Rozdzieliłem najpierw zmienne: y=C1x Uzmiennianie stałych :

	C1(x)
y=
	x

C1,(x) *x−C1(x)		C1(x)
	+		=y2
x		x

	C1(x)
C1(x) się skróciły ale co z tym y2 teraz? Próbowałem podnieć do kwadratu (		)2 ale
	x

nic mi to nie dało ....

J: pokaż, jak rozdzieliłeś zmienne

Szymon: xy^,+y=y²

	dy
x*		+y=y2
	dx

1.

	dy
x*		=−y |*dx
	dx

xdy=−ydx|:y|:x

	dy		dx
∫		=−∫
	y		x

ln|y|=−ln|x|

	1
ln|y|=ln|		|
	x

	C1
y=
	x

J: tak nie można ....

dy		dy		y2−y		dy		dx
	*x = y2 − y ⇔		=		⇔		=
dx		dx		x		y2−y		x

Szymon: Ok,pomieszały mi się wszystkie sposoby

	1		dx
∫		dy=∫
	y(y−1)		x

IUłamki proste |

	−1		1
∫(		+		)dy=ln|x|
	y		y−1

	1
ln|		|+l|y−1|=ln|x|
	y

	y−1
ln|x|=ln|		|
	y

Tak?

J: tak .. + C

Szymon: Dzięki J

Mariusz: Tak można na innym forum jest to pokazane tyle że rozwiązujesz te równanie jako Bernoullego a nie o rozdzielonych zmiennych Szymon dobrze myślałeś Równanie Bernoulliego można rozwiązywać jak liniowe i wcale nie trzeba do niego sprowadzać xy'+y=y² xy'+y=0 xy'=−y

y'		1
	=−
y		x

dy		dx
	=−
y		x

ln|y|=−ln|x|+C

	C
y=
	x

	C(x)
y(x)=
	x

C'(x)x−C(x)		C(x)		C2(x)
	+		=
x		x		x2

	C2(x)
C'(x)=
	x2

C'(x)		1
	=
C2(x)		x2

1		1
	=		+C1
C(x)		x

1		1+C1x
	=
C(x)		x

	x
C(x)=
	1+C1x

	1
y(x)=
	1+C1x