planimetria bartek: Witam, dostałem takie zadanie na sprawdzianie z planimetrii. Chodzę na profil z rozszerzoną matematyką. Nie wiem jak się zabrać za to zadanie . Przekątne czworokąta ABCD dzielą go na cztery trójkąty o jednakowych obwodach. Wykaż, że czworokąt ABCD jest rombem.

bartek: nikt nie pomoże? nie mogę przeboleć tego zadania

PW: Ja też nie mogę. Myślę już drugi dzień i klapa. To musi być jedno z tych niewinnie wyglądających oczywistych zadanek, których rozwiązanie nie jest wcale oczywiste. Od razu kojarzy mi się twierdzenie Steinera−Lehmusa. W jedną stronę oczywiste, w drugą − wcale nie. Naprawdę jest to zadanie ze szkolnego sprawdzianu?

oem: Bartku, jest to zadania na poziomie olimpijskim. Nie miała prawa dawać takiego zadania na szkolnym spr. Dowodząc nie wprost załóżmy, że AB > BC. Z warunków zadania wynika, że AM < MC, skąd wnioskujemy, że ∡AMB jest rozwarty (z tw. cosinusów). Stąd wynika, że ∡CMD jest rozwarty, więc CD > DA i w konsekwencji AM > MC, co przeczy wcześniejszy ustaleniom. Pozdrawiam