Ekstrema Przemysław: Szukałem ekstremów funkcji: f(x,y)=(2x²−y)(y−x²) Otrzymałem jeden punkt stacjonarny i w nim macierz Hess−ego:

0 0 0 −2

No i tu kryterium Sylwestera zawodzi Jak się zachować w takiej sytuacji ogólnie?

henrys: Szukałem ekstremów kilkanaście lat temu ale może sprawdź co się dzieje w otoczeniu punktu stacjonarnego, np na prostej y=x

Przemysław: No przykładowo zdaje się, że na y=−x jest maksimum. I teraz sprawdzić na innej prostej i np. nie będzie maksimum, to wtedy ogólnie nie ma maksimum. Ale jeżeli np. wydaje się, że jest maksimum, to jak to pokazać?

henrys: f(x,0)=−2x⁴ f(0,y)=−y² f'_x=−8x³ zmienia znak z + na − mamy max lokalne f(0,y)=−y² f'_y=−2y zmienia znak z + na − mamy max lokalne chyba tak

Przemysław: Ale w ten sposób, to chyba tylko sprawdziłeś proste y=0 i x=0? Chyba, że czegoś nie widzę

henrys: tak tak

Przemysław: Wiem, że czasami się to robiło z tego, że na ograniczonym obszarze f. ciągła przyjmuje kresy. Ale tutaj nie ma ograniczonego obszaru

henrys: a dla y=x² f(x,x²)=0 to nie wystarczy żeby nie było akstremum?

Przemysław: Hmm... Ale na jakiej podstawie? Bo ja tego nie widzę

henrys: eee no jak na jakiej? nieważne ile od zera się oddalisz po tej paraboli i tak będziesz miał dwa punty o wartości zero

Przemysław: Nie rozumiem

henrys: a co to jest ekstremum?

Przemysław: Przykładowo ekstremum − maksimum, to by chyba był taki punkt, w którym funkcja przyjmuje największą wartość (w porównaniu do wartości w punktach z otoczenia tego punktu).

Przemysław: Aha! w sensie, żę na y=x² wartość to zawsze 0.

Przemysław: że*

Przemysław: To by znaczyło, że tam nie ma tego ekstremum chyba?

henrys: no chyba tak

Przemysław: Dziękuję! Na wykresie widać w sumie tę parabolę http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282x%5E2-y%29%28y-x%5E2%29